Ensemble ordonné

[alexis6]

Bonjour,

Un ensemble ordonné est un ensemble " muni d´une relation d´ordre ". Est ce que cela veut dire que pour un ensemble ordonné E, tous ses éléments sont comparables?

Par exemple si on prend l´ensemble E : { a ; b ; c } et la relation d´ordre usuelle. On munit E de cette relation d´ordre. Comme ses éléments ne sont pas des nombres, on ne peut pas dire par exemple a

[jlp65]

Bonjour,
De quelle relation d'ordre "usuelle" parles-tu ?
Ton ensemble E est bien ordonné par la relation d'ordre lexicographique : a < b < c

[zygomatique]

salut

considère l'ensemble des entiers naturels non nul muni de la relation d'ordre :

p < q si p divise q


peux-tu comparer 2 et 4 ?

peux-tu comparer 2 et 5 ?

[Ben314]

Salut,

Un ensemble ordonné est un ensemble " muni d´une relation d´ordre ".

Jusque là, comme dirait Perceval, "c'est pas faux", mais si on ne définit pas ce qu'est une "relation d'ordre", ben ça sert clairement à rien.

Est ce que cela veut dire que pour un ensemble ordonné E, tous ses éléments sont comparables ?

Evidement, ça va dépendre de ce que tu prend comme définition d'une "relation d'ordre"...

Dans les mathématiques francophones actuelles (c'est différent en anglais), on définit une "relation d'ordre sur un ensemble E" comme étant une relation R sur E qui soit :
1) Réflexive, c'est à dire que pour tout x de E, on a xRx.
2) Transitive, c'est à dire que, pour tout x,y,z de E, si xRy et yRz alors forcément xRz.
3) Antisymétrique, c'est à dire que les seuls cas où on a simultanément xRy et yRx sont ceux où x=y.

Si on prend ça comme définition, il n'y a aucune raison que deux élément soient forcément "comparable".
Tu peut vérifier par exemple que la divisibilité sur les entiers vérifie bien les 3 points ça dessus ce qui n'empêche pas 3 et 5 de ne pas être "comparables" (on n'a ni "3 divise 5", ni "5 divise 3").
Autre exemple : sur l'ensemble des fonctions de R->R, on définit f<=g comme signifiant que f(x)<=g(x) pour tout x dans R. On vérifie aisément les 3 points çi dessus et on vérifie aussi que les fonctions sin et cos sont "incomparables".

En fait, lorsque deux élément de E sont systématiquement "comparables", dans le vocabulaire actuel, on dit que la relation R est une relation d'ordre totale et les deux exemples çi dessus montrent que ce n'est pas le cas de toutes les relations d'ordre.

Après, évidement, on peut choisir de définir autrement la notion de "relation d'ordre", mais vu que le terme est déjà utilisé par nombre de matheux avec le sens çi dessus, ç'est pas super malin.

[alexis6]

Merci pour ces réponses...

" En fait, lorsque deux élément de E sont systématiquement "comparables", dans le vocabulaire actuel, on dit que la relation R est une relation d'ordre totale et les deux exemples çi dessus montrent que ce n'est pas le cas de toutes les relations d'ordre. "

Comme vous l'avez écrit, il existe des relations d'ordre qui sont totales et d'autres qui sont partielles, comme la disivilibité sur N car à la question:

" peux-tu comparer 2 et 4 ?
peux-tu comparer 2 et 5 ? "

je réponds ne pouvoir comparer 2 et 5.

Mais si on s'intéresse seulement aux partielles, je me demande s'il en existe ou l'on ne peut jamais comparer 2 éléments. Par exemple reprenant l'exemple de la divisibilité donné par zygomatique:

" considère l'ensemble des entiers naturels non nul muni de la relation d'ordre : p < q si p divise q "

Et que je la modifie en imposant q < p. Il n'existe aucun couple d'entiers naturels non nul ( p , q ) tel que p divise q ET q
Autre exemple, la relation de divisibilité sur l'ensemble des nombres premiers. ( Pour en générer il suffit d'imposer une condition engendrant une contradiction ).

Au passage j'apprécie la référence à Kaamelott!

[zygomatique]

je crois bien que tu n'as pas compris qu'écrire "p < q" ne veut pas dire que p est plus petit que q mais que "p divise q"

dans l'ensemble des nombres premiers P aucun nombre "n'est plus petit" ou "plus grand" qu'un autre ... puisqu'aucun nombre n'en divise un autre ... donc il n'y a pas d'ordre pour la relation "divise"

et une relation entre éléments d'un ensemble n'a guère d'intérêt si cette relation n'est jamais vérifiée ....

[Ben314]

Ca n'a effectivement que peu d'intérêt, mais... c'est quand même une relation d'ordre...
Et si on veut préciser de laquelle il s'agit, ben c'est bètement la relation d'égalité :
Elle est bien (et trivialement) réflexive, transitive et antisymétrique sur tout ensemble E, mais le moins qu'on puisse dire, c'est qu'elle ne "compare" pas grand chose vu que le seul élément comparable avec un x donné est x lui même...

Et c'est effectivement ce qui se passe si par exemple tu restreint la relation de divisibilité à l'ensemble des nombres premiers.

[alexis6]

[quote="zygomatique"]je crois bien que tu n'as pas compris qu'écrire "p b et donc par contraposition a P(a;b), ou P est une propriété sur les éléments de E, il suffit d'imposer:

a<b ssi ( aRb ET non(P(a;b)) ) Et on conclut par contraposition...

Vous me direz cette notion a peu ou pas d'intérêt, je l'admets. Le seul intérêt que je lui trouve, c'est de montrer le manque de précision dans la définition d'ensemble ordonné. Car en effet, parler d'un ensemble ordonné, c'est parler implicitement d'ordre, et donc si la relation d'ordre considérée et vide, eh bien l'ensemble n'est pas plus ordonné...

Donc soit j'ai pas compris un truc ( c'est fort possible ), soit je me pose des questions à la con ( c'est très probable mais j'aime la précision surtout dans une matière scientifique ) soit ma remarque est juste mais vous ne l'aviez pas comprise ( aussi probable, vu que ce que j'écris n'est peut être pas très clair, mais je débute en maths ).

En espérant m'être fait comprendre cette fois ci.

[zygomatique]

c'est de montrer le manque de précision dans la définition d'ensemble ordonné.

absolument pas !!!

comme Ben314 l'a rappelé une relation d'ordre est très bien définie (par trois propriétés) ...

après (malheureusement) elle ne peut être que partielle ...mais bon on fait avec !!!


une autre relation d'ordre est l'inclusion dans l'ensemble des parties d'un ensemble ...

à nouveau elle n'est que partielle ....

mais on en conclut quand même des choses lorsque par exemple on a un espace probabilisé ::




à Ben314 : oui bien sur .... évidemment .... :lol3:

[L.A.]

Bonjour,

par définition, une relation d'ordre ne peut jamais être vide, puisqu'elle est toujours réflexive ;
du coup le truc que tu définis par "pRq ssi (p|q et q
Par contre, comme l'a dit Ben314, il peut arriver qu'une relation d'ordre soit triviale, c'est à dire qu'elle soit réduite à "=" et que son graphe soit réduit à la diagonale seulement. Dans ce cas, on a théoriquement un ensemble ordonné mais qui est trivial, c'est à dire qui n'apporte aucune information supplémentaire par rapport à l'ensemble tout nu.

PS : si vous fondez un club Kaamelott, je postule :zen:

[zygomatique]

Bonjour,

par définition, une relation d'ordre ne peut jamais être vide, puisqu'elle est toujours réflexive ;
du coup le truc que tu définis par "pRq ssi (p|q et q<p)" n'est pas une relation d'ordre parce qu'elle n'est pas réflexive. En tant que graphe, ta relation doit toujours contenir la diagonale.

Par contre, comme l'a dit Ben314, il peut arriver qu'une relation d'ordre soit triviale, c'est à dire qu'elle soit réduite à "=" et que son graphe soit réduit à la diagonale seulement. Dans ce cas, on a théoriquement un ensemble ordonné mais qui est trivial, c'est à dire qui n'apporte aucune information supplémentaire par rapport à l'ensemble tout nu.

PS : si vous fondez un club Kaamelott, je postule :zen:

Alexis6 est déjà parti en quête .... :ptdr:

[alexis6]

Bon bah moi il suffisait de me faire remarquer que:

" par définition, une relation d'ordre ne peut jamais être vide, puisqu'elle est toujours réflexive "

pour que je me calme!

Voila l'origine de mon imcompréhension: merci de m'avoir éclairé!

" Alexis6 est déjà parti en quête .... "

Les points de suspension ne sous-entenderaient pas une comparaison dévalorisante à Perceval? :hein:

[zygomatique]

non absolument pas .... just for fun ...

[alexis6]

non absolument pas .... just for fun ...

Me voila rassuré alors :zen:

[Ben314]

Et les glands sur la cartes, c'est quoi ?
Ben... c'est nous...

[alexis6]

Et les glands sur la cartes, c'est quoi ?
Ben... c'est nous...

Ahah excellent!

[L.A.]

Eh... au risque de passer moi-même pour un glandu,

JE L'AVAIS JAMAIS VU CELUI-LA ! :doh: :doh:

Ils passent jamais à la télé, non ? j'ai toujours cru que ça commençait par la table ronde avec Yvan le Bolloch ou par là...

Bon ben je sais comment occuper ma soirée maintenant.

Edit : ça fait quand même 4 épisodes dont j'ignorais totalement l'existence... 4 épisodes !