Je n'arrive pas à un exercice qui me prend vraiment la tête ! :mur: :triste:
Cet exercice a déjà été posé très récemment sur le forum mais comme je n'ai pas tout eu, je le reposte.
L'énoncé :
On dispose d'un ensemble de nombres réels qui possède la propriété suivante : s'il contient certains nombres, il contient aussi leur moyenne.
On sait seulement que cet ensemble contient 0 et 1.
1. Montrer qu'il contient 1/4, 3/4 et 7/12.
=> 1/4 et 3/4 sont facile à montrer que l'ensemble les contient.
La moyenne entre 0 et 1 est 1/2. De même, celle entre 0 et 1/2 est 1/4.
Pour 3/4, c'est la même chose. On sait que la moyenne entre 1/2 et 1 est 3/4.
Mais voilà, premier problème, on me demande également de prouver que 7/12 est dans l'ensemble.
D'après moi, je pense que 7/12 ne peut pas être compris dans l'ensemble dans la mesure où 1/2 + 2/3 = 7/12.
Si 1/2 appartient à l'ensemble donné, 2/3 ne l'est pas. En effet, la moyenne de 0 et 1 étant 1/2, il est en va de même que les nombres 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, etc... sont compris dans l'ensemble mais pas 7/12 (problème, je pense au niveau du dénominateur).
Si vous êtes d'accord avec moi, il faudrait m'aider à prouver de façon rigoureuse que 7/12 n'est effectivement pas dans l'ensemble.
2. Montrer qu'il contient tous les réels de la forme
=> On sait que l'ensemble contient 0 et 1. La moyenne des deux nombres est donc 1/2.
De même, la moyenne entre
De même, la moyenne entre
L'ensemble contient donc tous les réels de la forme
On fait exactement pareil pour prouver l'affirmation suivante sauf qu'on fait
3. Montrer qu'il contient 1/5.
=> Alors, je ne sais pas du tout. j'ai cherché très longtemps comme pour 7/12 mais je ne trouve vraiment pas. :mur:
4. L'ensemble contient-il tous les réels de la forme
=> J'ai pas commencé cette question dans la mesure où je n'ai pas fais la troisième.
Si vous avez par contre une idée, ce serait super car notre professeur nous a dit que cette question était très dure.
Voilà. Je vous remercie par avance pour toutes vos réponses.
