Ensemble de diviseurs

[alienwarez]

Demontrer que l'ensemble des diviseurs communs à a et b et égal aux diviseurs de PGCD(a,b)?

Merci d'avance pour votre aide (je suis en term S spé maths)

[lapras]

Salut,

le pgcd(a , b) est le plus grand divisieur de a et b : il est donc divisible par lui même et tous les diviseurs de a et b !
L'ensemble de ses diviseurs est donc l'ensemble des diviseurs de a eg b , ca me parait extrement logique !

Bon, je t'accordes que je ne suis qu'en seconde et toi en terminale, peut etre que ma démonstration n'est pas du tout a la hauteur de la demande , si c'est le cas, j'aimerais que quelqun propose la démonstration attendue.


Bonne soirée !

[Nightmare]

Bonsoir

Soit d un diviseur commun à a et b.

Si b|a, la propriété est triviale.

Si b ne divise pas a, on écrit l'algorithme d'euclide :



etc... jusqu'au dernier reste non nul :


On a

Comme d divise a et b, d divise r0
Comme d divise r0 et b, d divise r1
etc...
Comme d divise r(n-2) et r(n-1), d divise r(n) d'où d|PGCD(a,b).