Énigme dm maths

[Antoinero]

Bonjour pouvez vous m'aider à trouver la solution de cette énigme, c'est pour mon dm (il est possible qu'elle fasse appelle aux équations différentielles) :
Sur une île étrange il y a des renards, des poules et des serpents,
On sait que :
- Au lever du soleil, chaque renard tue une poule
- A midi, chaque poule tue un serpent
- Au coucher du soleil, chaque serpent tue un renard

Au 7ème jour à minuit, il ne reste plus qu'un animal sur l'île. Et c'est une poule.

Question : CB y avait-il d'animaux de chaque espèce au matin du premier jour avant le lever du soleil ?

La réponse 1 poule n'est évidemment pas valide. Merci de détailler votre raisonnement pour que je puisse comprendre.

Merci pour vos futurs réponses

[LB2]

Bonjour, tu peux essayer de remonter le temps petit à petit, en posant des problèmes plus simples.
Par exemple, quelle est la population de chaque espèce le 7ème jour juste après midi ? juste après le lever du soleil ? etc. en procédant de proche en proche.

Tu pourras ensuite introduire des suites r(n), s(n), p(n) si le besoin s'en fait sentir

[Arthur21]

Bonsoir,

Il y a 37 renards, 49 serpents et 65 poules.

Il existe plusieurs méthodes de résolution :
1) La première est de créer un algorithme en exécutant ce programme (rédigé en langage naturel) :
Répéter jusqu'à que p=1, que s=0, que r=0 :
attribuer à p un nombre aléatoire compris entre 1 et 100.
attribuer à r un nombre aléatoire compris entre 1 et 100.
attribuer à s un nombre aléatoire compris entre 1 et 100.
p'=p
s'=s
r'=r
Répéter 6 fois :
p=p-r
s=s-p
r=r-s

Le programme une fois arrêté, la valeur de r' désignera le nombre de renards à l'origine, p' les poules et s' les serpents. On peut résoudre ce problème sur Python.

2) Mathématiquement :

Si il ne reste qu'une poule à la fin du 6ème jour alors que dans l'ordre chronologique de la journée c'est la première à se faire manger, cela signifie qu'il y a à l'origine 6 poules (pour 6 jours) de plus que de serpents (deuxième mangeur de la journée), et 12 poules de plus que les renards (premier mangeur de la journée).
De même, il y a l'origine 6serpents de plus que de renards. Ainsi, on sait que :
p=6+r=12+r
s=6+r

Il ne reste plus qu'à trouver une valeur d'origine, mais je n'ai pas encore trouvé la méthode pour cela. Si vous avez des idées, n’hésitez pas.

Cordialement,
Arthur (Première).

[LB2]

Bravo Arthur!

Tu ne serais pas sur france-ioi par hasard?

[Arthur21]

Merci ! Non mais je fais de la NSI (Numérique et Sciences Informatiques) au lycée.

[lyceen95]

On va noter P0 R0 et S0 le nombre de Poules , Renards et Serpents au soir d'un jour quelconque,
P1, R1, S1, les mêmes nombres le même jour, juste avant le coucher du soleil.

Au coucher du soleil , chaque serpent tue un renard. Donc le nombre de poules ou de serpent ne change pas, mais le nombre de renards change :
R0=R1-S1
On va l'écrire dans l'autre sens, parce qu'on cherche les données en début de période, connaissant les données en fin de période :
R1=R0+S1 ; S1=S0 ; P1=P0

On va noter maintenant P2 R2 S2 les mêmes nombres, juste avant midi.
A midi, chaque poule tue un serpent.
Donc R2=R1 ; S2=S1+P2 ; P2=P1

Maintenant, 3 nouvelles variables P3 R3 et S3, les mêmes nombres mais juste avant le lever du soleil (ou au milieu de la nuit, c'est pareil)
Au lever du soleil, chaque renard tue une poule
Donc R3=R2 ; S3=S2 ; P3=P2+R3

Et à partir de tout ça tu peux établir (P3,R3,S3) = f(P0,R0,S0) : la relation qui donne les effectifs à minuit jour j en fonction des effectifs à minuit, jour suivant.