Enigme des deux enveloppes

par **hlbnet** » 03 Déc 2009, 10:49

Bonjour,
Voici une énigme "faussement simple" qui me donne mal à la tête.

J'ai déjà posté cette énigme sur plusieurs forums. J'ai obtenu une floppée de réponses, évidemment contradictoires. Une personne propose une réponse "intuitive", un "soit disant matheux" le contredit avec des arguments prétendument imparables mathématiquement, puis un "matheux et demi" vient contredire le premier. Personnellement, j'ai bien du mal à différentier le matheux numéro 1 du matheux numéro 2.

Je sais qu'il y a des pages Web (dont Wikipédia) qui abordent ce sujet, mais sans donner de réponse claire à cette version précise de l'énigme. J'ai bien sûr mon avis sur la question, mais je préfère ne pas l'évoquer ... car je suis bavard.

Voici l'énigme:

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Alors que vous vous promenez tranquillement dans la rue, un animateur télé vous aborde. Il a en main deux enveloppes cachetées.

Il vous dit : "Voici deux enveloppes contenant de l'argent. L'une des deux contient une somme double de l'autre."

Puis, il lance une pièce de monnaie, très haut, tournant très vite et dit :
"Si la pièce tombe sur face, je vous donne l'enveloppe 1. Sur pile, je vous donne l'enveloppe 2."

La pièce tombe sur face et il vous tends donc l'enveloppe 1. Vous l'ouvrez fébrilement et vous découvrez, ravi, 100 Euros.

L'animateur dit: "Bravo, vous venez de gagner 100 Euros. Mais, ce n'est pas fini ... je vous donne la possibilité de gagner davantage encore. Vous pouvez soit partir avec les 100 Euros, soit abandonner les 100 Euros et ouvrir l'autre enveloppe ... dont le contenu sera a vous définitivement !"

Question : Que doit faire le joueur pour maximiser son espérance de gain ?
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Je pense que, mathématiquement, on doit pouvoir avoir 4 réponses possibles:

Réponse 1:

Le problème ne se prête pas à un traitement mathématique. Les mathématiques n'ont donc pas de réponse à formuler. Seuls des éléments extérieurs au problème posé permettraient au joueur de conclure, comme par exemple l'estimation des montants généralement alloués à ce type de jeu télévisé, ou bien des critères purement psychologiques comme l'envi de tenter sa chance ou la peur de perdre ce qu'on a déjà. Bref, la question posée est à classer dans la catégorie des problèmes du type "Age du capitaine".

Réponse 2:

Un traitement mathématique académique du problème, basé sur les données de l'énoncé et les l'hypothèses raisonnables implicites, indique qu'aucune des deux stratégies ne permet au joueur d'augmenter son espérance de gain. Les deux stratégies de jeu (changer d'enveloppe ou garder la première) sont équivalentes.

Réponse 3:

Un traitement mathématique académique du problème, basé sur les données de l'énoncé et les l'hypothèses raisonnables implicites, indique que le joueur a intérêt à conserver l'enveloppe reçue.

Réponse 4:

Un traitement mathématique académique du problème, basé sur les données de l'énoncé et les l'hypothèses raisonnables implicites, indique que le joueur a intérêt à changer d'enveloppe.

Pouvez vous m'aider à choisir entre les 4 réponses ?

par **beagle** » 03 Déc 2009, 11:06

Perso je ne vois aucune chance supplémentaire à changer, l'énoncé est alambiqué mais je ne vois que le hasard pour déterminer la meilleure enveloppe.C'est hasard premier tirage, et c'est hasard deuxième tirage sans info supplémentaire à priori.
Je ne vois pas la stratégie qui augmenterait les chances.

Si tu veux bien nous faire un résumé du gars qui dit que c'est mieux de changer ou de garder.
Pour le moment je dirai la réponse deux, mais je suis ouvert,
me suis déjà fait avoir sur des trucs de ce genre.Mais là cela ne ressemble pas au classique problème des trois portes, pour prendre un exemple très connu.

par **beagle** » 03 Déc 2009, 11:15

http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_des_deux_enveloppes

par **beagle** » 03 Déc 2009, 11:23

donc qu'est ce qui ne te plait pas dans la réponse de wiki?

par **hlbnet** » 03 Déc 2009, 11:26

Beagle, personnellement, je pense comme toi intuitivement, par symétrie.

Mais, j'ai peur d'induire en erreur en donnant les différentes résolutions prétenduement mathématiques. Elles sont toutes "bluffantes" pour le "demi-matheux" que je suis.

Malgré tout, en voici 2 parmis une multitude (qui peuvent être toutes les deux fausses !) :
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Prétendue résolution A :

Appelons X la plus petite des sommes qui se trouvent dans les enveloppes. Une enveloppe contient X, l'autre 2X.

Si le joueur ne change pas d'enveloppe, il a une chance sur deux d'obtenir l'enveloppe contenant X et une chance sur deux d'obtenir l'enveloppe 2X.
Donc, l'espérance de gain du joueur, sans changer d'enveloppe est:
E1= 1/2 * X + 1/2 * 2X = 3/2 * X

Si le joueur change d'enveloppe, ces chances d'obtenir finalement l'enveloppe contenant X ou 2X ne sont pas modifiée, cela reste du hasard avec equiprobabilité. Donc, l'espérance de gain du joueur, en changeant d'enveloppe est:
E2 = 1/2 * 2X + 1/2 * X = 3/2 * X

Puisque E1=E2, les deux stratégies sont équivalente => Réponse 2.
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Prétendue résolution B :

Après avoir obtenu les 100 euros, le joueur sait que dans la seconde enveloppe il y a soit 50 euros, soit 200 euros.

Sans change d'enveloppe, le joueur gagne 100 euros. E1 = 100 euros

En prenant comme hypothèse implicite raisonnable, que les différentes sommes sont equiprobables, on obtient l'espérance de gain suivante du joueur en changeant d'enveloppe :
E2= 1/2 * 50 + 1/2 * 200 = 5/2 * 100 = 125 euros

Donc, le joueur a intérêt à changer d'enveloppe, augmentant son espérance de gain de 25% => réponse 4.

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par **hlbnet** » 03 Déc 2009, 11:27

beagle a écrit:donc qu'est ce qui ne te plait pas dans la réponse de wiki?

C'est la phrase suivante :
"On peut augmenter le nombre d'enveloppes, de contenus respectifs divers, le problème reste le même. En revanche le problème serait différent si une enveloppe était ouverte après le choix initial. Il faudrait dans ce cas tenir compte de la valeur pour évaluer la probabilité d'avoir initialement tiré le plus gros chèque."

Et là, il nous laisse en plan !!!

par **beagle** » 03 Déc 2009, 11:49

OK, c'est marrant, je regarde comment me repérer autrement que wiki.

par **beagle** » 03 Déc 2009, 17:01

situation provisoire dans ma tète, sachant que je bosse et que je laisse le problème se résoudre en tache de fond lorsqu'il reste des ressources RAM dans ma petite tète.
Il me gène ayant tiré 100 de dire que dans l'enveloppe je peux avoir 50 ou 200.
Et de calculer si 50, si 200.
cela me semble tout de mème dépendre de l'ensemble de définition des tirages de couples d'enveloppes.Je m'explique.
Si je veux que cela soit bien symétrique, je peux prendre la suite, 4, 8, 16, 32, 64, 128,etc...et je dis que l'enveloppe est un couple de cet ensemble de définition, alors pour tout 4k, j'ai un 2*4k et j'ai un 4k/2, si je tire n'importe quel 4k, il semblerait effectivement bénéfique de dire je veux l'autre, c'est lié à la différence entre 50ù et 100%,chose que je n'avais pas vu au départ.

Maintenant prenons un ensemble de définition, où il n' y a jamais de symétrie,
on va le faire petit, les enveloppes sont choisie dans les couples (30,60), (40,80) , (50,100) .Là le fait de changer n'apporte pas de bénéfices, si j'ai 60 ou 80 ou 100 ou 120, changer me fera perdre.Par contre pas trop bien regardé, mais je dirais que changer systématiquement sur plusieurs tirages si cela n'apporte rien, cela ne semble pas faire perdre.

Bref, j'ignore s'il ya des situations où changer systématiquement , sur de nombreux tirages peut dégrader les gains.
Si cela n'est pas.Alors j'ignore dans quel ensemble de définition j'évolue, en sachant que changer peut me faire gagner ou ne pas perdre plus, il reste valable de changer.

Bon, c'est ma petite cervelle à 17h41mn.
Je change tout dans quelques temps après lecture des posts, je suis facilement influençable,...

par **beagle** » 03 Déc 2009, 17:26

t'en as vraiment mis sur tous les forums,
juste aperçu, pas le temps de tout lire, le genre de truc que j'aime bien également:
" Pas fou, moi, je n'ouvre pas l'enveloppe mais je demande à l'animateur d'ouvrir celle qui lui reste. Après cela, j'affirme sans hésiter que je garde celle que j'ai puisque mon espérance de gain est ainsi grandement réévaluée
:we:

donc retour à la-ma case départ?

par **benekire2** » 03 Déc 2009, 18:04

Et bien c'est un peut comme le jeu de la chèvre et de la voiture.... Dans un cas on a une espérence de 1/2 et dans l'autre 2/3 ... ( Pour ceux qui ont aimé la chevre ...)

par **hlbnet** » 03 Déc 2009, 20:04

benekire2 a écrit:Et bien c'est un peut comme le jeu de la chèvre et de la voiture.... Dans un cas on a une espérence de 1/2 et dans l'autre 2/3 ... ( Pour ceux qui ont aimé la chevre ...)

La chèvre et la voiture, c'est déroutant au début ... mais dès qu'on a compris le principe, ça devient évident.

Là, c'est plus compliqué. J'ai l'impression que les mathématiques ne peuvent pas conclure sur ce problème (Réponse 1) et en même temps, j'ai l'intuition que changer d'enveloppe ne change rien (Réponse 2).

En faveur de la réponse 1, je dirais que toutes les tentatives de résolution prétenduement académiques sont basées sur dess hypothèses ad-hoc que l'on fait et qui à elles seules induisent le résultat obtenu. Autrement dit, ce serait une sorte de problème de l'Age du capitaine (plus ou moins, en quelques sortes). Ou bien, cela revient à poser à un mathématicien la question : Est-ce que les frites ont un bon gout ? Bon ... je m'égare.

En faveur de la réponse 2, c'est la symétrie du problème.

Bref ... je suis très perplexe, c'est pour cela que j'ai posté sur plusieurs forums. Cela m'obsède un peu, je l'avoue.

par **beagle** » 03 Déc 2009, 20:12

au début, je me suis demandé, mais je passe à coté de quoi?
puis cela a été moins évident,
bon j'ai pas eu trop le temps, j'irai regarder les réponses que tu as eues sur d'autres forum, ou si tu mets ici les passages marquants,
merci de m'avoir fait découvrir, je ne connaissais pas,
....

par **alavacommejetepousse** » 03 Déc 2009, 22:11

bonsoir

la solution A est bien modulo le fait que la stratégie de changer ou non ayant été prise avant de tirer l 'enveloppe le seul élément aléatoire dans cet énoncé est le choix initial de l'enveloppe (pas de choix final )

que l 'enveloppe soit ouverte ou non ne change rien (sauf si on estime non raisonnable que le jeu permette de gagner 200 euros)

par **hlbnet** » 04 Déc 2009, 11:28

J'ai fini par déméler ce problème difficile pour moi.

Voici une synthèse, que j'aurais été bien incapable d'écrire (formulée par un mathématicien professionnel, dont je ne peux donner le nom car je ne lui ait pas demandé l'autorisation), qui est conforme à la conviction que j'ai fini par me forger péniblement.

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La meilleure réponse est un mélange des réponses 1 et 2 (les réponses 3
et 4 sont clairement fausses).

En effet, en l'absence de toute autre indication extra-mathématique, la
modélisation probabiliste n'est pas adaptée et on NE peut PAS parler
d'"espérance de gain" : la notion d'espérance fait intervenir la moyenne
par rapport à des choix aléatoires, or quand on décide de garder la boîte
il n'y a plus rien d'aléatoire dans ce qu'on gagne, donc pas d'"espérance
du gain" !! Sans aucune autre indication, l'observation "la boîte contient
100euros" n'est d'absolument aucune utilité, et changer de boîte ne
change rien.

Pour pouvoir parler de l'espérance du gain, il faut faire une
modélisation de la manière dont les boîtes ont été remplies. C'est
l'information extra-mathématique dont vous parlez. Par exemple on peut
postuler "il est très improbable que l'animateur ait mis plus que 100
euros en jeu", alors, si vous voyez 100 euros, vous avez tout intérêt à
les garder ! et ce raisonnement peut être rendu rigoureux en mettant une
loi de probabilité sur la somme mise dans les boîtes, et en calculant des
probabilités d'avoir la meilleure boîte sachant qu'on a vu 100 euros
dedans. Mais à l'inverse, on peut prendre comme postulat que "vu les
millions dont la télé dispose, l'animateur n'a certainement pas mis juste
50 euros dans une boîte et 100 euros dans l'autre" ; alors, si on voit 100
euros dans une boîte, on a de bonnes raisons d'attendre 200 euros dans
l'autre boîte. Ceci démontre que, selon la modélisation retenue, les
réponses 3 et 4 peuvent être soit vraies soit fausses (et ne peuvent donc
pas être vraies dans l'absolu).

Les mathématiques seules ne peuvent donc pas vous aider à choisir
une modélisation raisonnable de la manière dont les boîtes sont remplies
(en cela la réponse 1 est la plus correcte). Par contre, si on suppose
qu'on s'est donné une telle modélisation, alors on peut faire un
traitement mathématique rigoureux qui selon les cas vous dira ou non s'il
faut changer de boîte (mais la réponse dépendra des détails de la
modélisation).
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par **Sve@r** » 04 Déc 2009, 23:45

hlbnet a écrit:Bonjour,
Voici une énigme "faussement simple" qui me donne mal à la tête.

J'ai déjà posté cette énigme sur plusieurs forums. J'ai obtenu une floppée de réponses, évidemment contradictoires. Une personne propose une réponse "intuitive", un "soit disant matheux" le contredit avec des arguments prétendument imparables mathématiquement, puis un "matheux et demi" vient contredire le premier. Personnellement, j'ai bien du mal à différentier le matheux numéro 1 du matheux numéro 2.

Je sais qu'il y a des pages Web (dont Wikipédia) qui abordent ce sujet, mais sans donner de réponse claire à cette version précise de l'énigme. J'ai bien sûr mon avis sur la question, mais je préfère ne pas l'évoquer ... car je suis bavard.

Voici l'énigme:

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Alors que vous vous promenez tranquillement dans la rue, un animateur télé vous aborde. Il a en main deux enveloppes cachetées.

Il vous dit : "Voici deux enveloppes contenant de l'argent. L'une des deux contient une somme double de l'autre."

Puis, il lance une pièce de monnaie, très haut, tournant très vite et dit :
"Si la pièce tombe sur face, je vous donne l'enveloppe 1. Sur pile, je vous donne l'enveloppe 2."

La pièce tombe sur face et il vous tends donc l'enveloppe 1. Vous l'ouvrez fébrilement et vous découvrez, ravi, 100 Euros.

L'animateur dit: "Bravo, vous venez de gagner 100 Euros. Mais, ce n'est pas fini ... je vous donne la possibilité de gagner davantage encore. Vous pouvez soit partir avec les 100 Euros, soit abandonner les 100 Euros et ouvrir l'autre enveloppe ... dont le contenu sera a vous définitivement !"

Question : Que doit faire le joueur pour maximiser son espérance de gain ?
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Je pense que, mathématiquement, on doit pouvoir avoir 4 réponses possibles:

Réponse 1:

Le problème ne se prête pas à un traitement mathématique. Les mathématiques n'ont donc pas de réponse à formuler. Seuls des éléments extérieurs au problème posé permettraient au joueur de conclure, comme par exemple l'estimation des montants généralement alloués à ce type de jeu télévisé, ou bien des critères purement psychologiques comme l'envi de tenter sa chance ou la peur de perdre ce qu'on a déjà. Bref, la question posée est à classer dans la catégorie des problèmes du type "Age du capitaine".

Réponse 2:

Un traitement mathématique académique du problème, basé sur les données de l'énoncé et les l'hypothèses raisonnables implicites, indique qu'aucune des deux stratégies ne permet au joueur d'augmenter son espérance de gain. Les deux stratégies de jeu (changer d'enveloppe ou garder la première) sont équivalentes.

Réponse 3:

Un traitement mathématique académique du problème, basé sur les données de l'énoncé et les l'hypothèses raisonnables implicites, indique que le joueur a intérêt à conserver l'enveloppe reçue.

Réponse 4:

Un traitement mathématique académique du problème, basé sur les données de l'énoncé et les l'hypothèses raisonnables implicites, indique que le joueur a intérêt à changer d'enveloppe.

Pouvez vous m'aider à choisir entre les 4 réponses ?

Pour moi c'est la réponse 2. L'enveloppe 1 est issue du hasard et on ne sait rien d'autre sauf que la seconde a 50% de chances d'avoir plus que d'avoir moins. Rajouter au hasard initial de la pièce le hasard du choix ne change pas. Et si on écrit l'arbre des possibilités, on se rend compte qu'il y a autant de chances à changer qu'à ne pas changer.

Toutefois cela me rappelle un jeu presque pareil. Cette fois il y a 3 enveloppes: une pleine et 2 vides.
Le candidat choisit l'enveloppe qu'il veut. Une fois celle-ci choisie, elle reste fermée mais l'animateur qui connait les 3 enveloppes et à qui il reste 2 enveloppes dont au-moins une est perdante élimine alors une des deux enveloppes perdantes qui lui reste. Je veux dire que s'il lui reste une perdante et une gagnante, il élimine du jeu la perdante qu'il connait et s'il lui reste deux perdantes il élimine du jeu une enveloppe forcément perdante.
Maintenant le candidat a le droit de garder son enveloppe choisie au début ou de prendre la 3° qui reste en jeu. La question est "a-t-il ou n'a-t-il pas avantage à changer ?"

par **benekire2** » 05 Déc 2009, 15:03

tu parle de l'énigme de monty hall ( initialement pratiqué avec une voiture et deux chèvres ... ) où il faut clairement changer . ( en effet, on a 2/3 de chance de prendre la mauvaise au début, sauf que quand on nous enlève l'autre ( la mauvaise) on gagne forcément, donc c'est du bonus ... sauf si on retire aléatoirement l'autre.)

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