Encore des preuves

[Le Chat]

Slt!

On me demande de démontrer la 3e propriété des limites:
:triste:

[Kikoo <3 Bieber]

Salut,

Je t'invite à réécrire tes hypothèses : Qu'est-ce que tu désignes comme étant epsilon ? Que sont chacune de tes variables ?
Tu ne fixes aucun quantificateur, de quoi enlever toute logique à ta démo.

PS : et n'abuse pas sur les flèches d'implication et d'équivalence ;) Je les utilisais beaucoup aussi avant, et il s'avérait que j'en faisais un mauvais usage. Etaye plutôt ta démo de phrases afin d'articuler chaque point.

[Kikoo <3 Bieber]

Epsilon est une valeur infiniment petite ? :hein: Qu'est-ce que cela veut dire ? ^^

Non non non, epsilon est n'importe quel réel de R.

PS : désolé mais ton latex n'est pas encore suffisamment clair !

[Le Chat]

Salut,

Je t'invite à réécrire tes hypothèses : Qu'est-ce que tu désignes comme étant epsilon ? Que sont chacune de tes variables ?
Tu ne fixes aucun quantificateur, de quoi enlever toute logique à ta démo.

PS : et n'abuse pas sur les flèches d'implication et d'équivalence Je les utilisais beaucoup aussi avant, et il s'avérait que j'en faisais un mauvais usage. Etaye plutôt ta démo de phrases afin d'articuler chaque point.

Je comprends, mais pour les deux implications, j'ai pas vrm eu le choix.
Comment quantifier ça?

J'ai bien de la misère avec le LATEX, ça n'en fini plus. le «er» est tout simplement une multiplication. :s. Désolé.

[Kikoo <3 Bieber]

Ok t'inquiète, on va le faire avec moins de formules et plus d'idées ;)

On sait que la suite (u_n) converge. Elle a donc une limite que l'on nomme l. Pour tout epsilon réel, il existe donc un rang n_0 donné à partir duquel la quantité |u_n-l| est inférieure ou égale à epsilon, n supérieur à n_0 (la locution a-p-c-r désigne cette hypothèse de manière explicite).

Soit un lambda réel. Alors le fait que la limite de la suite (y_n) vaut lambda*l se traduit par le fait que lambda*u_n - lambda*l = lambda*(u_n - l)
Le théorème stipulant que si une suite a une limite nulle alors la suite formée de son produit avec une autre suite bornée converge vers 0.
Nous avons ce cas ici avec (lambda) une suite constante (et donc bornée), ainsi que (u_n - l) qui converge vers 0.
Donc il existe un epsilon blablabla tel que |lambda|*|u_n - l| <= epsilon, donc la limite de la suite (lambda*u_n) est lambda*l.

[Le Chat]

Ok t'inquiète, on va le faire avec moins de formules et plus d'idées

On sait que la suite (u_n) converge. Elle a donc une limite que l'on nomme l. Pour tout epsilon réel, il existe donc un rang n_0 donné à partir duquel la quantité |u_n-l| est inférieure ou égale à epsilon, n supérieur à n_0 (la locution a-p-c-r désigne cette hypothèse de manière explicite).

Soit un lambda réel. Alors le fait que la limite de la suite (y_n) vaut lambda*l se traduit par le fait que lambda*u_n - lambda*l = lambda*(u_n - l)
Le théorème stipulant que si une suite a une limite nulle alors la suite formée de son produit avec une autre suite bornée converge vers 0.
Nous avons ce cas ici avec (lambda) une suite constante (et donc bornée), ainsi que (u_n - l) qui converge vers 0.
Donc il existe un epsilon blablabla tel que |lambda|*|u_n - l| <= epsilon, donc la limite de la suite (lambda*u_n) est lambda*l.

Voilà! Merci =)

J'avais pris |lambda|*|u_n - l| <= epsilon pour acquis, sans preuve. :lol3:

Comment es tu passer du fait que (u_n -l) tend vers 0 à |lambda|*|u_n - l| <= epsilon?
Ça équivaut à dire que |lambda|*|u_n - l| est inf.petit car (u_n -l) est aussi inf.petit. Donc ils sont nécessairement <= epsilon?

[Kikoo <3 Bieber]

Voilà! Merci =)

J'avais pris |lambda|*|u_n - l| <= epsilon pour acquis, sans preuve. :lol3:

Comment es tu passer du fait que (u_n -l) tend vers 0 à |lambda|*|u_n - l| <= epsilon?
Ça équivaut à dire que |lambda|*|u_n - l| est inf.petit car (u_n -l) est aussi inf.petit. Donc ils sont nécessairement <= epsilon?

Première question : il s'agit de l'application du théorème que j'ai énoncé ci-dessus.

Deuxième question : Tu parles d'infiniment petit alors que tu ne devrais pas

Il faut que tu t'imagines la définition de limite autrement : On a une fourchette de valeurs centrée en l, et on montre que pour tout epsilon réel, il existe un certain rang à partir duquel tous nos u_n seront dans cette fourchette de largeur epsilon.

Donc on ne sait pas si |lambda|*|u_n - l| est "infiniment" petit (il faut absolument que tu évites ce terme qui ne veut pas dire grand chose en maths), il peut être d'une taille relativement grande par rapport à ce que tu t'imagines. Il n'empèche qu'au bout d'un certain moment, il rentre dans la fourchette (et on se fiche de s'avoir quelle taille elle fait), et ce pour tout epsilon. Ca veut dire que si tu prends un autre epsilon comme largeur de fourchette, eh ben il existera un autre rang à partir duquel la quantité |lambda|*|u_n - l| est inférieure à epsilon. Et ce sera toujours vrai.

Pas très intuitif mais c'est sans doute la définition la plus rigoureuse d'une suite convergente

[Le Chat]

Entk,

merci pour ton aide kikoo :zen:

ah non j'ai effacé ce que j'ai écrit >.<