DM encadrement d'une gravure.

[sixtou]

Bonjour ! Bonne année ! :)

J'aurais besoin de votre aide pour un devoir maison de maths niveau seconde.
Il s'agit d'un exercice portant sur l'encadrement d'une gravure.
J'ai réussi le 1) 2) et 3) , mais je bloque pour le 4) dont l'énoncé est le suivant :
On définit sur [4;+infini[ la fonction f(x)= 882/(x-4)+16+2x.
Montrer que pour tous a>4 et b>4, on a f(b)-f(a)= 2(b-a)(1-441/(b-4)(a-4))

Comme solution je n'ai trouvé que f(b)-f(a)= 2(b-a)+(882(a-4))/((b-4)(a-4))-(882(b-4))/((a-4)(b-4))

Je rame depuis plusieurs jours et j'ai encore le 5) et 6) sur lesquels je bloque ><

Je vous serais très reconnaissante de m'aider :)

[Sa Majesté]

f(b)-f(a)= 2(b-a)+(882(a-4))/((b-4)(a-4))-(882(b-4))/((a-4)(b-4))

Il suffit de simplifier (882(a-4))/((b-4)(a-4))-(882(b-4))/((a-4)(b-4)) en regroupant les numérateurs et en développant les parenthèses des numérateurs

[sixtou]

Je trouve 2(b-a)-(882(a-b))/((b-4)(a-4))
Mais ensuite je ne vois pas comment factoriser, et je ne vois pas non plus comment on obtient le (1-441/((b-4)(a-4)) :/

[Sa Majesté]

Tu as un problème de signe
Tu dois trouver 2(b-a)+(882(a-b))/((b-4)(a-4))

Ensuite il suffit de mettre 2(b-a) en facteur

[sixtou]

Han merci j'ai compris ! :D
Euh par contre j'aimerais bien bénéficier de votre aide pour le 5) :
En déduire que f est décroissante sur ]4;25] puis croissante sur [25;+infini[

Je trouve la fonction décroissante sur les 2 intervalles --'
J'ai utilisé la méthode qui analyse le signe de chaque membre et je trouve qu'ils sont globalement négatifs. :/

[Sa Majesté]

Soient a et b deux réels supérieurs à 4 tels que a < b
Si f(b)-f(a) > 0 alors f est croissante
Si f(b)-f(a) < 0 alors f est décroissante

f(b)-f(a)= 2(b-a)(1-441/[(b-4)(a-4))]
donc f(b)-f(a) est du signe de 1-441/[(b-4)(a-4)]