Encadrement

[Françoisdesantilles]

Bonjour j'envoi cet exercice particulier car je dois préparer un oral et à vrai dire et honnêtement j'ai rien compris dans cet exo.

Quelqu'un pourra-t-il le corrigé svp? (et/ou donner son avis sur les productions d'élèves svp)

La figure ci-contre représente une portion d'un disque de centre et de rayon 1. On fait varier la mesure en radian de l'angle
dans l'intervalle

Déterminer un encadrement d'amplitude d'une mesure de l'angle pour laquelle il y a égalité des aires de la surface hachurée et de la surface quadrillée.

Adapté du manuel Maths'x terminale S spécifique programme 2012
Réponses de deux élèves de classe de terminale spécialité mathématiques
[bleu]Élève 1[/bleu]
J'ai posé donc l'aire de

L'aire du secteur hachuré est égale à l'aire de la portion de disque privé de l'aìre du triangle ABC.
Je résous l'équation



Je pose

Avec ma calculatrice graphique, je trouve une solution entre et

Jai écrit un programme en langage python.
Il retourne


et
[vert]programme : [/vert]
from math import sin, cos, pi
:
return
def dicho():


while :

if :

else

return

[bleu]Élève 2 [/bleu]J'ai posé donc l'aire de est et l'aire du secteur hachuré
Je résous l'équation
J'étudie la fonction définie par donc
Comme la dérivée est positive, est strictement croissante.
D'après le théorème de bijection il y a une unique solution.

Le travail à exposer
1- Analysez les productions de ces deux élèves en mettant en évidence les compétences acquises, les erreurs éventuelles ainsi que l'aide que vous pourriez leur apporter.

2- Proposez une correction de l'exercice telle que vous la présenteriez devant une classe de première spécialité mathématiques, en vous appuyant sur les productions des élèves.

[Françoisdesantilles]

Bonjour j'envoi cet exercice particulier car je dois préparer un oral et à vrai dire et honnêtement j'ai rien compris dans cet exo.

Quelqu'un pourra-t-il le corrigé svp? (et/ou donner son avis sur les productions d'élèves svp)

La figure ci-contre représente une portion d'un disque de centre et de rayon 1. On fait varier la mesure en radian de l'angle
dans l'intervalle

Déterminer un encadrement d'amplitude d'une mesure de l'angle pour laquelle il y a égalité des aires de la surface hachurée et de la surface quadrillée.

Adapté du manuel Maths'x terminale S spécifique programme 2012
Réponses de deux élèves de classe de terminale spécialité mathématiques
[bleu]Élève 1[/bleu]
J'ai posé donc l'aire de

L'aire du secteur hachuré est égale à l'aire de la portion de disque privé de l'aìre du triangle ABC.
Je résous l'équation



Je pose

Avec ma calculatrice graphique, je trouve une solution entre et

Jai écrit un programme en langage python.
Il retourne


et
[vert]programme : [/vert]
from math import sin, cos, pi
:
return
def dicho():


while :

if :

else

return

[bleu]Élève 2 [/bleu]J'ai posé donc l'aire de est et l'aire du secteur hachuré
Je résous l'équation
J'étudie la fonction définie par donc
Comme la dérivée est positive, est strictement croissante.
D'après le théorème de bijection il y a une unique solution.

Le travail à exposer
1- Analysez les productions de ces deux élèves en mettant en évidence les compétences acquises, les erreurs éventuelles ainsi que l'aide que vous pourriez leur apporter.

2- Proposez une correction de l'exercice telle que vous la présenteriez devant une classe de première spécialité mathématiques, en vous appuyant sur les productions des élèves.

En m'aidant de ce site,
http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/ ... ecteur.htm

j'ai compris que l'angle BAC = alpha (que j'appel k pour écrire facilement).
du coup on doit avoir 1/2.R²sink=1/2.R²(k-sink).
d'où sink= k -sink, ce qui implique k= 2sink (alpha= 2sin alpha).

[catamat]

Bonjour

Il y a sans doute beaucoup de choses à dire dans ce genre d'exercice, je me limiterai à quelques remarques pour le 1°) le 2°) doit venir de vous même.

D'abord je suppose que les calculs d'aire sont justes (n'ayant pas la figure) les deux élèves touvent la même chose mais l'élève 2 utilise des notations plus pratiques et connait la formule de duplication du sinus ce qui allège encore le résultat et permet un calcul rapide de la dérivée.
De plus il démontre l'unicité de la solution ce que ne fait pas le premier élève.

A ce sujet toutefoisil dit que la dérivée est positive sur l'intervalle, il aurait du rajouter et s'annule une et une seule fois sur cet intervalle pour pouvoir conclure que f est strictement croissante sur l'intervalle.
(En général, dans le théorème donné en S on dit que le nombre de zéros de la dérivée sur l'intervalle doit être un nombre fini)

Au sujet de l'encadrement de la solution , le 2° ne le traite pas, le 1° utilise un programme qui est faux dans le test (de plus il aurait du préciser comment il choisit a et b au départ)

En effet ici f(a)>0 et f(b)<0
on teste ensuite f(m) où m est la moyenne arithmétique de a et b
si f(m)<0 la solution est entre a et m donc c'est b qui doit être remplacé par m
donc cela donne

if f(m)<0
b=m
else
a=m

Dernière remarque ils auraient pu utiliser la calculatrice graphique pour avoir une valeur approchée de cette solution,ou au moins se rendre compte que le résultat du programme était faux.

[catamat]

Désolé j'ai zappé une erreur de l'élève 2 sur la dérivée :
f'(x)=1-2cos2x
donc l'étude de signe est fausse
f'(x) s'annule en pi/6 est négative pour x supérieur à pi/6 donc f est strictement décroissante sur [pi/6 ; pi/2}

[Françoisdesantilles]

Bonjour, voici ce que je pense des réponses des deux élèves :

Donc pour l'élève 1 l'aire du triangle est ok mais l'aire du secteur angulaire est fausse puisque c'est alpha/2 si alpha correspond à l'angle BAC
Or il a posé alpha=BAC/2
Pour l'élève 2 le problème est sur la dérivée
Sinon pour l'équation f(x)=0
L'élève 2 à la même chose que vous puisque c'est x-sin(2x) avec x=alpha/2
Donc alpha=2x
Pour l'élève 1 le problème vient de l'aire du secteur angulaire qui n'est donc pas alpha mais alpha/2 avec alpha =BAC/2 soit BAC=2alpha
Donc l'aire du secteur angulaire est 2alpha/2=alpha
Or il a écrit alpha/2
voici l'image :

[Françoisdesantilles]

https://ibb.co/JsQsQTc image

[Ben314]

Salut,
Je comprend pas ce que tu raconte concernant l'élève 1 : il a écrit en toute lettre que l'angle qu'il considérait c'était alpha=BAC (et pas la moitié comme l'élève 2).
Et après avoir écrit "aire de la portion de disque moins l'aire du triangle", il a écrit alpha/2 - ... ce qui est parfaitement correct.
Concernant la "avec ma calculette graphique, je vois que", c'est sans doute correct vu que sa fonction est la bonne (et que la solution est effectivement <pi/2).
Bref, le seul endroit où ça déconne c'est son programme et il aurait du s'en rendre compte vu que le programme donne comme résultat alpha=Pi alors que c'est clairement incohérent (et forcément en contradiction avec ce qu'il a vu sur la calculette graphique).
Et pourquoi le programme déconne ? Parce que ces modification des bornes a et b selon que f(m)<0 ou >0 sont incorrecte : il a sans doute recopié sans réfléchir ce programme qui marchait pour une autre fonction. Sauf que l'autre fonction vérifiait f(a)<0<f(b) au départ alors que là, c'est le contraire. . . dommage . .
(ça marcherais en prenant -f à la place de f ou bien en inversant la condition "Si f(m)<0 alors . . . ").

Sinon, concernant l'élève 2, il y a non seulement une erreur sur la dérivée, mais il me semble que pour invoquer le "théorème de la bijection", il faudrait savoir un minimum quelque chose sur l'ensemble d'arrivé de la fonction, en l’occurrence exhiber deux valeurs de x donnant des valeurs de f(x) <0 et >0 pour en déduire que 0 est dans l'ensemble d'arrivé.

[Françoisdesantilles]

Merci Ben, ne te fis pas trop à mes réponses, j'ai compris deux trois choses concernant la résolution mathématiques de l'exo mais pas tout.En ce qui concerne l'utilisation de programme ou calculette pour trouver les solutions je suis largué

[Françoisdesantilles]

Merci pour votre aide, voici mon programme python (je sais pas trop comment faire avec geogebra ou calculette).

voici les images :
https://ibb.co/3vLTWLM



Ça affiche la courbe de la fonction sin(x)/x et la droite de constante 1/2. On peut voir le point de croisement entre les 2. Et à l'aide d'une boucle for j'estime le point x le plus proche pour lequel f(x) = 1/2.

[Françoisdesantilles]

Si on pose α l'angle BAC, l'aire du secteur angulaire est bien α / 2 ( grâce à la proportionnalité).
L'aire du triangle ABC est cos (α/2) sin ( α/2) ( en utilisant la formule base x hauteur / 2 . La hauteur s'obtient avec le cosinus et la demi-base avec le sinus).
Donc la partie hachurée est égale à α / 2 - cos (α/2) sin ( α/2)

Si on veut que les deux parties soient égales, on arrive à l'équation : α / 2 - cos (α/2) sin ( α/2) = cos (α/2) sin ( α/2)
donc α / 2 = 2 cos (α/2) sin ( α/2) ( à ce stade on utilise sin 2x = 2 sin x cos x - formule de trigonométrie)
donc α / 2 = sin α
donc à résoudre α / 2 - sin α = 0 sur l'intervalle 0; π.

On pose la fonction f(α) = α / 2 - sin α
On procède à la dérivation et à l'étude de la monotonie sur l'intervalle.
Si les conditions sont réunies, on peut donc appliquer la propriété de la bijection pour affirmer qu'il n' y a qu'une seule solution à cette équation.
https://ibb.co/qJR9VhC