Encadrement

[boby57]

Bonjour ,

J'ai une fonction défini sur ]0;+infini[ par f(x)=(1+ln(x))/x^2
J'aimerai encadrer cette fonction pour 1/e<x<2, alors je sais pas trop comment procéder j'avais penser commencer comme cela :
1/e^2<x^2<4 car la fonction x^2 croissante pour x>0
1/4<1/x^2<e^2 car la fonction inverse est décroissante sur ]0;+infini[ suis je dans le juste pour l'instant ?
Merci

[Lostounet]

Bonsoir,
Ce que tu as fait pour l'instant est juste... mais il faut faire attention pour la suite. Si tu comptes encadrer le numérateur puis multiplier deux inégalités, il faut vérifier que tous les termes sont de signe positif strict. Des fois ce ne sera pas le cas...


En général, quand tu as une fonction "délicate" à encadrer, il vaut mieux étudier les variations de cette fonction plutôt que de la découper en fonction élémentaires.
C'est-à-dire en gros, calculer la dérivée f'(x) de la fonction puis regarder son signe sur l'intervalle qui nous intéresse et construire son tableau de variations. Ceci valant si tu as déjà appris la dérivation... Ce qui est probablement le cas vu que tu connais la fonction logarithme.

[boby57]

Ensuite j’encadre
1/e<x<2
ln(1/e)<ln(x)<ln(2) car ln est croissante
-1+1<ln(x)+1<ln(2)+1
0<ln(x)+1<ln(2)+1 tous les termes sont positifs donc je peux multiplier et je trouve
0x1/4<(ln(x)+1)/x2<e^2ln(2)+e^2


Est ce que c’est juste ?

[Pseuda]

Bonjour,

C'est juste.

Mais comme dit Lostounet, l'étude de la fonction peut donner un encadrement plus précis. En effet, cette étude te donne sur ton intervalle : 0<(ln(x)+1)/x2<e/2, et e/2 est environ égal à 1,36, tandis que ton : e^2ln(2)+e^2 te donne environ égal à 12,51.

[boby57]

La différence est donc grande , j’ai fait une erreur quelque part ?

[Pseuda]

Aucune erreur, mais l'étude de fonction (si elle est possible) permet l'encadrement le plus précis (juste) possible.

Si tu fais un encadrement par étapes, par exemple le tien, numérateur et dénominateur, tu rajoutes de l'imprécision, car l'ensemble des valeurs prises par le numérateur et celles prises par le dénominateur, ne sont pas prises en même temps (pour le même "x").

Par exemple, la valeur e^2(1+ln(2)) serait prise pour x= 1/e et x= 2, impossible.

[boby57]

Du coup y a une autre possibilité d’encadrer qui serai plus précise à par l’étude de la fonction

[Pseuda]

Oui donc tu dois faire une étude de fonction sur l'intervalle considéré : calcul de la dérivée, tableau de variation, valeurs aux bornes.

D'où tu peux en déduire un encadrement des valeurs prises par la fonction sur l'intervalle.