Encadrement de réels par des nombres rationnels

[neptik]

Bonjour à tous,

je poste aujourd'hui parce que j'ai besoin d'aide... Je ne suis pas satisfait de ma méthode et j'aimerais qu'on m'aide, si possible; alors voici l'énoncé:

Chercher un encadrement suffisamment précis, par des nombres rationnels, des réels suivants:


Quant à ce que j'ai fait;


et j'ai fait de manière analogue pour l'autre, mais justement je trouve que ce n'est pas assez précis compte tenu du "suffisamment précis" de l'énoncé.

Merci d'avance pour toute aide

[Lostounet]

Salut,

Le terme de suffisamment précis est très flou...

Si tu veux un encadrement plus précis, tu n'as qu'à augmenter les décimales de ton encadrement initial de racine de 5.

Par contre, comment trouves-tu un tel encadrement? La calculatrice est-elle autorisée? Si oui... il suffit de l'utiliser pour le nombre tout entier et pas au départ. Non?

Il existe des méthodes mathématiques (par exemple la méthode de Newton ou des suites ou autres) qui permettent d'approcher tout nombre irrationnel par un nombre rationnel (sans calculatrice).

[neptik]

J'ai aussi pensé à prendre un encadrement tout de suite pour le nombre lui-même mais je me suis dit que cela manquait de rigueur (bien que ce que j'ai fait revient au même, tout compte fait...).
Comme il n'y a aucune indication quant à la calculatrice, je pense bien faire comme tu le soulignes, merci.
En ce qui concerne les différentes méthodes dont celle de Newton, je ne les ai pas vues (pas au programme de terminale), je ferai donc des recherches - chose qui est reprise dans le supérieur, à ce que j'ai pu voir sur certains sites.
merci encore une fois.

[Lostounet]

Si tu veux, pose f(x)= x^2 - 5 et procède par la méthode de dichotomie afin d'encadrer la racine de cette fonction (qui est racine de 5).

Ça converge assez vite et ça donne un encadrement automatique. Et c'est au programme de TS ;p

Encore mieux: pose f(x)=x^2-x-1 dont la solution positive est le premier nombre. Tu procèdes par dichotomie pour f(x)=0 sur un intervalle initial de R+ de ton choix...et ça te donne un encadrement du nombre d'or immédiatement.

[neptik]

ah oui, c'est vrai, la dichotomie!
merci encore une fois!

[MJoe]

ah oui, c'est vrai, la dichotomie!
merci encore une fois!

Bonjour @neptik et bonjour à tous,

Voici un petit programme pour la dichotomie qu'il est possible d'adapter sur la calculatrice :

Code: Tout sélectionner

//DICHOTOMIE
w = "x^2-x-1"
u = [0,4]
p = 0.0001

a = u(1);
b = u(2);
deff('[y]=f(x)',"y="+w)

if f(a) * f(b) > 0 then
printf ("%s\n","f doit changer de signe sur l''intervalle [a,b] !")
else
  while (b - a) > p

  m = (a + b) / 2;
    if f(a) * f(m) < 0 then
    b = m;
    else
    a = m;
    end
  end
printf ("Encadrement : %f%s%f\n",a," < xsol < ",b)
end


Voici ce que j'ai trouvé pour le premier (le nombre d'Or) avec une précision p = 0,0001 :

Code: Tout sélectionner

Encadrement : 1.617981 < xsol < 1.618042


Si cela peut aider ceux qui cherchent ce type de petit programme.

MJoe.

[MJoe]

Re-Bonjour,

Pour le deuxième, il faut chercher la racine négative du trinôme :

Il faut donc prendre par exemple l'intervalle [-2;0] pour lancer la dichotomie.

J'ai trouvé :

Code: Tout sélectionner

Encadrement : -1.215271 < xsol < -1.215210

MJoe.

[neptik]

J'ai déjà un programme pour la dichotomie et j'avais aussi trouvé cette équation pour le deuxième, mais merci quand même!

[sylvainc22]

Si le nombre est un irrationnel quadratique (comme les deux exemples ici), on peut calculer les quotients de sa fraction continue simple (celle avec des 1 aux numérateurs), puis avec ces quotients calculer les fractions dites réduites du nombre, avec l'algorithme d'Euclide étendu. L'avantage de cette méthode est qu'on obtient un encadrement très "serré".

Par exemple pour (sqrt(7)+1)/3, les quotients de la f.c. simple sont: 1, 4,1,1,1, 4,1,1,1... infinie évidement avec la période 4,1,1,1 (les irrationnels quadratiques ont toujours une période). Ca donne les réduites:
1/1, 5/4, 6/5, 11/9, 17/14, 79/65, 96/79, 175/144, 271/223, 1259/1036, 1530/1259, 2789/2295, ...
Chaque fraction successive est une meilleure approximation du nombre que la précédente.

(L'exemple du nombre d'or est trop facile: les quotients de sa f.c. sont tous des 1.)

voir pour le calcul de la fraction continue:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_continue_d%27un_irrationnel_quadratique

[pascal16]

tu peux élever au carré ta fraction pour retomber sur une inégalité de nombres entiers