TS encadrement d'intégrale.

[Anonyme]

Bonjour

Je suis resté coincé sur un problème de TS (voir ci dessous) , c'est la
question 2 qui me pose problème.
En réponse à la quest 2 a) je dirais que K(a) correspond à l'aire
délimitée par C et les droites d'équation :
x=a ; x=2a et y = 0.
Pour la 2 b) je coince et j'ai comme l'impression qu'il y a une erreur
d'énoncé.
une copie du texte original peut être consultée ici :
http://lesundgau.free.fr/maths3.jpg (j'ai remplacé alpha par a)

Voici le problème:

1. On considère la fonction numérique f définie sur [1;+oo[ par
f(x)=(1/x)exp(1/x)

On note C la courbe représ. de f dans le rep orthonormé (O; i,j) du
plan.
Pour tout réel a>ou=1, on considère les intégrales

J(a) = intégrale de a à 2a (1/x) dx et K(a) = intégrale de a à 2a
(1/x)exp(1/x) dx

Le but de l'exercice est d'étudier , sans chercher à la calculer,
l'intégrale K(a)

a) Déterminer la lim de f en +oo. Interpréter graph le résultat.
b) Variations de f
c) Donner l'allure de C.

2. a) Interpréter géométriquement le nombre K(a).
b) Soit a>ou=1, montrer que

(1/2)exp[1/(2a)] <ou= K(a) <ou= exp (1/a)

Merci

Martin

--
Florida Voting Machine:
http://www.stupidvideos.com/?VideoID=871

[Anonyme]

"Martin68" a écrit dans le message de
news: mn.881e7d521179525f.19096@www.cerbermail.comDgVi0koGhA...
> Bonjour
>
> Je suis resté coincé sur un problème de TS (voir ci dessous) , c'est la
> question 2 qui me pose problème.
> En réponse à la quest 2 a) je dirais que K(a) correspond à l'aire
> délimitée par C et les droites d'équation :
> x=a ; x=2a et y = 0.
> Pour la 2 b) je coince et j'ai comme l'impression qu'il y a une erreur
> d'énoncé.
> une copie du texte original peut être consultée ici :
> http://lesundgau.free.fr/maths3.jpg (j'ai remplacé alpha par a)

Effectivement, j'irais plutôt directement au 3 :
On majore exp(1/x) par exp(1/a) ; on le minore par exp(1/2/a)
Donc K(a) est compris entre les J(a) multipliés par l'un et l'autre.
Or J(a) = ln(2a/a) = ln(2)
(une fonction indépendante de a !)

Mais on peut faire encore plus grossièrement en majorant et minorant :
exp(1/x)/x :
exp(1/2/a)/2/a et exp(1/a)/a
et K(a) est compris entre ces deux valeurs multipliées par :
in(dx, a...2a) = a
d'où le résultat demandé.

A.J.


> Voici le problème:
>
> 1. On considère la fonction numérique f définie sur [1;+oo[ par
> f(x)=(1/x)exp(1/x)
>
> On note C la courbe représ. de f dans le rep orthonormé (O; i,j) du plan.
> Pour tout réel a>ou=1, on considère les intégrales
>
> J(a) = intégrale de a à 2a (1/x) dx et K(a) = intégrale de a à 2a
> (1/x)exp(1/x) dx
>
> Le but de l'exercice est d'étudier , sans chercher à la calculer,
> l'intégrale K(a)
>
> a) Déterminer la lim de f en +oo. Interpréter graph le résultat.
> b) Variations de f
> c) Donner l'allure de C.
>
> 2. a) Interpréter géométriquement le nombre K(a).
> b) Soit a>ou=1, montrer que
>
> (1/2)exp[1/(2a)]
> Merci
>
> Martin
>
> --
> Florida Voting Machine:
> http://www.stupidvideos.com/?VideoID=871
>

[Anonyme]

Ma réponse directe ne veut pas être envoyée par le serveur.
Aussi je fais un envoi allégé.

"Martin68"
>
> Je suis resté coincé sur un problème de TS (voir ci dessous) , c'est la
> question 2 qui me pose problème.
> En réponse à la quest 2 a) je dirais que K(a) correspond à l'aire
> délimitée par C et les droites d'équation :
> x=a ; x=2a et y = 0.
> Pour la 2 b) je coince et j'ai comme l'impression qu'il y a une erreur
> d'énoncé.

Effectivement, j'irais plutôt directement au 3 :
On majore exp(1/x) par exp(1/a) ; on le minore par exp(1/2/a)
Donc K(a) est compris entre les J(a) multipliés par l'un et l'autre.
Or J(a) = ln(2a/a) = ln(2)
(une fonction indépendante de a !)

Mais on peut faire encore plus grossièrement en majorant et minorant :
exp(1/x)/x :
exp(1/2/a)/2/a et exp(1/a)/a
et K(a) est compris entre ces deux valeurs multipliées par :
in(dx, a...2a) = a
d'où le résultat demandé.

A.J.

[Anonyme]

Merci beaucoup, j'ai réussi à clarifier le reste.

Martin

--
Florida Voting Machine:
http://www.stupidvideos.com/?VideoID=871