Droites et plan de l'espace

[Jilou]

Bonjour :)

Alors voila l’énoncée de l'exo sur lequel je bloque:
"On considère les points A(-1;0;1), B(1;4;-1) et C(3;-4;-3).
1) justifier que les points A, B et C définissent un plan.
2) Démontrer que le point O, origine du repère, appartient au plan (ABC)."

Alors la question 1) je l'ai deja faite, j'ai prouvé que vecteurBC= a vecteurAB+b vecteurAC
J'ai donc calculé les coordonnées de AB, AC et BC et j'ai terminé en trouvant le système 2=2a+4b; -8=4a-4b et -2=-2a-4b

j'ai isolé le b pour trouver sa valeur qui est 1,5 et le a j'ai trouvé -2! J'ai remplacé le a et b par leur valeur respective et on constate que les egaliter sont correct et donc qu'ils son coplanaire et donc A, B et C définissent bien un plan :) (en espérant que ma méthode sois correct)

Par contre le question 2) je bloque un peu je ne sais par où commencer dans mon cours il me dise que pour démontrer qu'un point appartient à un plan il faut montrer que les vecteurs u et v sont coplanaires...je n'ai pas très bien compris :hein:

Merci a celui ou celle qui voudra bien m'aider et me dire si ma question 1) est correct :)

[siger]

Bonjour

Alors voila l’énoncée de l'exo sur lequel je bloque:
"On considère les points A(-1;0;1), B(1;4;-1) et C(3;-4;-3).
1) justifier que les points A, B et C définissent un plan.
2) Démontrer que le point O, origine du repère, appartient au plan (ABC)."

Alors la question 1) je l'ai deja faite, j'ai prouvé que vecteurBC= a vecteurAB+b vecteurAC
J'ai donc calculé les coordonnées de AB, AC et BC et j'ai terminé en trouvant le système 2=2a+4b; -8=4a-4b et -2=-2a-4b

j'ai isolé le b pour trouver sa valeur qui est 1,5 et le a j'ai trouvé -2! J'ai remplacé le a et b par leur valeur respective et on constate que les egaliter sont correct et donc qu'ils son coplanaire et donc A, B et C définissent bien un plan (en espérant que ma méthode sois correct)

Par contre le question 2) je bloque un peu je ne sais par où commencer dans mon cours il me dise que pour démontrer qu'un point appartient à un plan il faut montrer que les vecteurs u et v sont coplanaires...je n'ai pas très bien compris :hein:

Merci a celui ou celle qui voudra bien m'aider et me dire si ma question 1) est correct

deux methodes possibles ( au moins!)
a- comme la premiere question ecrire que OA est une combinaison lineaire de OB et OC par exemple
b- ecrire un systeme de 4 equations en ecrivant que A,B,C et O verifient l'equation du plan
ax + by + cz + d = 0
et verifier que le systeme a une solution, c'est a dire que l'on peut determiner a,b,c et d
....

[Jilou]

deux methodes possibles ( au moins!)
a- comme la premiere question ecrire que OA est une combinaison lineaire de OB et OC par exemple
b- ecrire un systeme de 4 equations en ecrivant que A,B,C et O verifient l'equation du plan
ax + by + cz + d = 0
et verifier que le systeme a une solution, c'est a dire que l'on peut determiner a,b,c et d
....

Bonjour
Alors j'ai utilisé la méthode des combinaisons linéaires et voila ce que j'ai fais:
vecteur OA= a vecteurOB+ b vecteurOC
j'ai calculé les coordonnées des vecteurs OA, OB et OC (qui était franchement facile à trouver!) et j'ai abouti a ce système: -1= a+3b; 0= 4a-4b et 1= -a-3b

J'ai isolé le a afin de pouvoir trouver le b qui est -1/4 et le a j'ai trouvé -1/4 également! Ces résultats vérifient bien les équations et on peut donc en déduire que O appartient bien au plan ABC!

Est ce correct?

[siger]

je ne suis pas actuellement en position de verifier tes calculs mais cela semble coorect!

[chan79]

Bonjour

Alors voila l’énoncée de l'exo sur lequel je bloque:
"On considère les points A(-1;0;1), B(1;4;-1) et C(3;-4;-3).
1) justifier que les points A, B et C définissent un plan.
2) Démontrer que le point O, origine du repère, appartient au plan (ABC)."

Alors la question 1) je l'ai deja faite, j'ai prouvé que vecteurBC= a vecteurAB+b vecteurAC
J'ai donc calculé les coordonnées de AB, AC et BC et j'ai terminé en trouvant le système 2=2a+4b; -8=4a-4b et -2=-2a-4b

j'ai isolé le b pour trouver sa valeur qui est 1,5 et le a j'ai trouvé -2! J'ai remplacé le a et b par leur valeur respective et on constate que les egaliter sont correct et donc qu'ils son coplanaire et donc A, B et C définissent bien un plan (en espérant que ma méthode sois correct)

Par contre le question 2) je bloque un peu je ne sais par où commencer dans mon cours il me dise que pour démontrer qu'un point appartient à un plan il faut montrer que les vecteurs u et v sont coplanaires...je n'ai pas très bien compris :hein:

Merci a celui ou celle qui voudra bien m'aider et me dire si ma question 1) est correct

Pour la 1, il suffit de prouver que et ne sont pas colinéaires.
Par rapport à ce que tu as fait, on a toujours que A, B et C définissent un plan ou pas.
Pour la 2, tu peux montrer qu'il existe deux réels a et b tels que