Droite Dlambda avec lambda paramètre réel et points d'inters

[chelsea-asm]

Bonjour,

Je suis au dernier exercice d'un DM et je bloque un peu pour expliquer les réponses que j'ai trouvées.
Nous avons ce graphique :



Avec la courbe C (orange) de fonction ou encore sous une autre forme

Nous avons deux asymptotes : une verticale D d'équation et une oblique D' (rouge) d'équation

La tangente T (verte) d'équation

La question est :
Soit la droite d'équation où est un paramètre réel.
Préciser le nombre de points d'intersection de et C suivant les valeurs de

Etant donné que la tangente T ne touche la courbe C qu'en un seul point, on en déduit que pour il n'y a qu'un seul point d'intersection.
Comme on remarque sur le graphique, l'asymptote oblique D' coupe la courbe C en un seul point. On en déduit, que pour il y a aussi un seul point d'intersection.

On sait alors que pour il n'y a aucun point d'intersection, étant donné que la courbe C se rapproche de l'asymptote obliqye D' d'équation

On se demande alors combien il y a de points d'intersection, pour ainsi que pour

Comment je peux démontrer ça ?

Je vous remercie !

[annick]

Bonjour,
pour connaitre les points d'intersection de deux courbes f(x) et g(x), il suffit de chercher pour quelles valeurs de x on a f(x)=g(x).

Donc ici :x-3+(3x-1)/x²=x+lambda

En arrangeant tout ça, tu tombes sur une équation (qui dépend de lamda) du second degré à résoudre.
Son discriminant dépendra de lambda et il faudra donc que tu poses les conditions pour que ce discriminant soit positif (et dans ce cas, il y a deux solutions), négatif (et dans ce cas il n'y a pas de solution) ou nul (et dans ce cas, il n'y a qu'une solution).
Tu verras que ceci te permettra de répondre à la question qui t'est posée.

[chelsea-asm]

Ah oui je savais que f(x) = g(x) pour qu'il y ait intersection.

Et en fait, comme la courbe C se rapproche de son asymptote oblique, en faisant varier lambda dans les intervalles que j'ai trouvé, il était évident que il n'y avait que 2 solutions possibles, pas moins pas plus :id:

Mais je ne savais pas comment le démontrer mathématiquement parlant, car c'était une déduction.

Je te remercie ! je vais essayer d'appliquer tout ça ! :++:

Bonne continuation !

[chelsea-asm]

Bonsoir,

J'ai fait comme on me dit avec l'équation et tout ! Donc en démarrant avec :







Bon, après je suis censé calculer avec non ? Mais j'ai un dénominateur, alors comment faire pour ??

Je ne suis pas sûr de ma manoeuvre, mais en tout cas, le \Delta on a jusque là, appris à le calculer qu'en sachant les valeurs numériques de a,b et c. Donc si il y a une autre technique autre que celle-là je ne la connais pas...

edit : je viens de penser à faire ceci :
1. continuer l'équation et avoir :
-3x^2 + 3x - 1 =

Je calcule avec a=-3 ; b=3 ; c=-1
Ensuite, le du côte de lambda, aura la même valeur que celui calculé avec . Ce serait juste ou il ne faut surtout pas faire ça ?

[chelsea-asm]

Je suis pas sûr qu'on doive faire avec :hum:
On sait, d'après le graphique que :

Il y a aucune solution pour
Il y a une solution pour et pour

Enfin, il y a deux solutions pour et

Je voudrais essayer de mettre en valeur ces intervalles, et à la fin dire ça, qu'il y a deux solutions pour ces deux intervalles. Je n'y arrive pas avec

[annick]

[quote="chelsea-asm"]Bonsoir,

J'ai fait comme on me dit avec l'équation et tout ! Donc en démarrant avec :





Quand tu en es là, d'une part les x se simplifient, ce qui te donne :




Ensuite tu repasses tout du même côté :



Tu mets tout ça au même dénominateur.

Tu vas donc tomber sur un polynôme du second degré au numérateur.

Or pour qu'une fraction soit nulle, il suffit que le numérateur soit nul (à condition que le dénominateur ne soit pas nul).

Tu vas donc chercher à annuler le numérateur, comme je te l'avais dit précédemment.

[chelsea-asm]

Ah oui d'accord !

Mais il y a lambda... Alors c'est mon numérateur MOINS = 0

Non ?

[chelsea-asm]

Alors avec



ou



Je dois chercher ?