Doutes sur une réponse

[Waax22951]

Bonjour,
Je lisais un cours sur les produits et les séries télescopiques, et j'ai un doute sur un passage de ma réponse.. Malheureusement, je n'ai pas de logiciel pour savoir si j'ai le bon résultat.. J'aimerais donc savoir si ce que j'ai fiat est bon.. Merci d'avance ! :lol3:

Exercice:
Pour n 2, donner une expression simple de:
[CENTER][/CENTER]

Trouver la limite de lorsque n tend vers

"

Réponse:

Simplifions d'abord :



Posons maintenant les suites et , définies par et . On remarque alors que:


D'après la règle des produits télescopiques, on en déduit que

Or , donc .

Mais le truc, c'est que plusieurs choses me chiffonnent: par exemple, peut-on faire la division que j'ai fait ? D'instinct, je répondrais oui, mais je n'en suis vraiment pas sûr.. De même, je dirais qu'on peut adapter la règle des produits télescopiques lorsque k=2 (alors que normalement il s'agit du cas où k=0), mais je n'en suis pas parfaitement sûr (même si je suis plutôt confiant pour ce point là..)

Merci de vos futures réponses !

[Lamaths]

Bonjour,

Tes calculs et ton résultats sont corrects.
Tu as eu raison de poser la division comme tu l'as fait. C'est comme dire que , il y a juste un peu plus de termes à cause du produit devant. (mais ce qui est valable pour un terme, est valable pour le produit).

Par ailleurs tu peux adapter la règle des produits télescopiques comme tu veux
De manière générale

[Waax22951]

C'est bien ce que je me disais.. Merci et bonne continuation !

[paquito]

Tu peux aussi écrire: =

Là, on a rendu la formule homogène (ça sert souvent) et ça va un peu plus vite (c'est une variante).

Un autre exemple classique: si on veut calculer l'espérance mathématique de la loi , il faut calculer , ce qui n'est pas évident. pour s'en sortir, on écrit:

et pour homogénéiser la formule, ici l'astuce consiste à mettre en facteur; on obtient:

==

Ce t'ai envoyé ça (homogénéiser, en gros ici ça a consister à descendre au rang n-1 pour retrouver un résultat connu), car je sais que tu es curieux de tout.

[Waax22951]

Tu peux aussi écrire: =

Là, on a rendu la formule homogène (ça sert souvent) et ça va un peu plus vite (c'est une variante).

Un autre exemple classique: si on veut calculer l'espérance mathématique de la loi , il faut calculer , ce qui n'est pas évident. pour s'en sortir, on écrit:

et pour homogénéiser la formule, ici l'astuce consiste à mettre en facteur; on obtient:

==

Ce t'ai envoyé ça (homogénéiser, en gros ici ça a consister à descendre au rang n-1 pour retrouver un résultat connu), car je sais que tu es curieux de tout.

D'accord.. Merci beaucoup !
Mais est-ce que "homogénéiser" est le fait de modifier le rang d'une somme ou d'un produit pour le simplifier ou est-ce que ce terme a une définition plus générale ? :hein:
Pour ce qui est de l'espérance, je suis très content de voir cette démonstration, car j'avais un peu cherché au brouillon comment faire pendant le cours et je n'y étais pas parvenu..! Merci :lol3:
J'en profite pour demander une autre définition qui me pose problème, au niveau des ensembles cette fois-ci:
On dit que est dense dans car pour tout et pour tout réel x, il existe un entier rationnel y tel que .
Mais que signifie exactement cette définition ? Si j'ai bien compris, ça revient à dire que pour tout réel x, il existe un rationnel "relativement proche" de x.. Mais peut-on dire plus naturellement et plus "vulgairement" que l'ensemble des rationnels est en grande proportions dans l'ensemble des réels ? :hein:

Merci d'avance :lol3:
(Et sache que ta dernière phrase me fait très plaisir..! :lol3: )

[paquito]

Bonjour Waax,

Le terme homogène est employé dans plusieurs situations; ça peut consister à modifier un indice pour avoir des termes communs; c'est ce qu'on a fait au début;

pour l'espérance on avait et , donc on a mis p en facteur pour avoir , puis n en facteur pour avoir ce qui a rendu l'expression homogène et il a suffit alors de faire un changement d'indice pour faire apparaître ; on parle aussi de formule ou de fonction homogène :

Par exemple, , pour tout réel .

Il y a aussi les systèmes homogènes où les équations différentielles homogènes (second membre nul)

Toutefois dans le cadre du lycée on n'a pas l'occasion de parler d'homogénéité, mais tu peux trouver ça dans un bouquin.

En ce qui concerne les ensembles denses (ici dans), c'est une notion très importante.

La définition est bien ; en fait, tout intervalle contient une infinité de rationnel; démonstration:
Supposons pour x non rationnel que contienne un nombre fini q de rationnel (il en contient au moins 1) et soit ; l'intervalle ne contiendrait aucun rationnel, ce qui est contradictoire. et si q est rationnel, tout intervalle centré en q contient une infinité de rationnels de la forme.

Ce résultat signifie aussi qu'il existe toujours une suite de rationnels qui converge vers x, quel que soit le réel x. Les décimaux sont aussi dense dans.

Cette notion s'étudie en topologie (licence); son intérêt est que pour démontrer de nombreuses propriétés valables sur , il suffit de les démontrer sur , ce qui est évidemment plus intéressant! Je n'ai pas d'exemple simple à te donner car il faut des résultats post-bac. C'est du genre: 2 fonctions continues qui coïncident sur , coïncident sur .

[Waax22951]

Bonjour Waax,

Le terme homogène est employé dans plusieurs situations; ça peut consister à modifier un indice pour avoir des termes communs; c'est ce qu'on a fait au début;

pour l'espérance on avait et , donc on a mis p en facteur pour avoir , puis n en facteur pour avoir ce qui a rendu l'expression homogène et il a suffit alors de faire un changement d'indice pour faire apparaître ; on parle aussi de formule ou de fonction homogène :

Par exemple, , pour tout réel .

Il y a aussi les systèmes homogènes où les équations différentielles homogènes (second membre nul)

Toutefois dans le cadre du lycée on n'a pas l'occasion de parler d'homogénéité, mais tu peux trouver ça dans un bouquin.

En ce qui concerne les ensembles denses (ici dans), c'est une notion très importante.

La définition est bien ; en fait, tout intervalle contient une infinité de rationnel; démonstration:
Supposons pour x non rationnel que contienne un nombre fini q de rationnel (il en contient au moins 1) et soit ; l'intervalle ne contiendrait aucun rationnel, ce qui est contradictoire. et si q est rationnel, tout intervalle centré en q contient une infinité de rationnels de la forme.

Ce résultat signifie aussi qu'il existe toujours une suite de rationnels qui converge vers x, quel que soit le réel x. Les décimaux sont aussi dense dans.

Cette notion s'étudie en topologie (licence); son intérêt est que pour démontrer de nombreuses propriétés valables sur , il suffit de les démontrer sur , ce qui est évidemment plus intéressant! Je n'ai pas d'exemple simple à te donner car il faut des résultats post-bac. C'est du genre: 2 fonctions continues qui coïncident sur , coïncident sur .

D'accord, j'y vois un peu plus clair maintenant..! :lol3:
Ce qui est amusant, c'est que lorsque j'ai envoyé ma réponse, j'ai survolé un cours qui expliquait ce qu'était une équation diophantienne "homogène"..!

D'accord.. Et est-ce que le fait que les rationnels soient denses dans R a une utilité pour la préparation au concours général ? Car j'ai légèrement l'impression de perdre du temps sur ce genre de cours..
J'aime beaucoup la démonstration.. Je la garde dans un coin de ma tête..! :lol3:
Qu'est ce qu'est la topologie exactement ? Car j'avais vu dans un livre que c'était l'étude de la "forme des objets", mais n'aimant pas beaucoup les analogies en maths j'avais légèrement survolé la partie (ils expliquaient par exemple de le 1 et le 7 sont topologiquement semblables..).
Cela signifie que certains problèmes d'analyse peuvent être résolus de manière arithmétique, non ?
(Trouver un prolongement analytique à une fonction par exemple..)

Merci pour toutes ces explications..! :lol3:

[paquito]

La topologie signifie "étude des lieux"; les lieux étant les ensembles mathématiques.
Si on prend, les intervalles ouverts ne sont pas de même nature que les intervalles fermés; dans un intervalle ouvert ]a; b[ une suite à valeurs dans cet intervalle peut avoir une limite en dehors de l'intervalle; ex: , ce qui n'est pas le cas pour un fermé; de même, une droite et un cercle sont topologiquement différents; si on se déplace sur un cercle, il n'y a pas de barrière; sur une droite, oui. On définit plein d'autres choses comme les ensembles maigres dans ; ce qui veut dire en gros que la longueur de l'ensemble est nulle; on montre que est maigre, donc que les irrationnels sont gros ; etc...

Tout ceci dépasse largement le programme du concours général et ne peut pas intervenir. Par contre il y a souvent des problèmes d'arithmétique ou de géométrie bien salés. En plus du reste...

[Waax22951]

La topologie signifie "étude des lieux"; les lieux étant les ensembles mathématiques.
Si on prend, les intervalles ouverts ne sont pas de même nature que les intervalles fermés; dans un intervalle ouvert ]a; b[ une suite à valeurs dans cet intervalle peut avoir une limite en dehors de l'intervalle; ex: , ce qui n'est pas le cas pour un fermé; de même, une droite et un cercle sont topologiquement différents; si on se déplace sur un cercle, il n'y a pas de barrière; sur une droite, oui. On définit plein d'autres choses comme les ensembles maigres dans ; ce qui veut dire en gros que la longueur de l'ensemble est nulle; on montre que est maigre, donc que les irrationnels sont gros ; etc...

Tout ceci dépasse largement le programme du concours général et ne peut pas intervenir. Par contre il y a souvent des problèmes d'arithmétique ou de géométrie bien salés. En plus du reste...

Donc si je souhaite me renseigner sur la topologie mais que je souhaite aussi faire le concours général, alors il vaut mieux que j'attende la prépa voire après, c'est ça ? :lol3:
A ton avis, quelles parties du programme devrais-je approfondir en priorité ? L'arithmétique ? L'analyse ? Les inégalités ? :hein:
Car je ne souhaite pas prendre plus de retard que je n'ai déjà..!
Merci d'avance ! :lol3:

[Moicoucou]

HS : Waxx boite de mp pleine

[Waax22951]

HS : Waxx boite de mp pleine

Si ma boite est pleine, je la viderai à ma prochaine connexion, donc envoyer un message sur ce post n'a aucun intérêt..

[Moicoucou]

HS : Waxx boite de message pleine

[Waax22951]

HS : Waxx boite de message pleine

Ce n'est pas non plus en spammant que ton souhait sera plus vite réalisé..

[Moicoucou]

Non mais je pensait que tu l'avait pas vus désolé

[paquito]

Les exercices du concours général sont toujours originaux et donc imprévisible; donc la meilleure préparation est de faire des exos variés et que tu n'as jamais fait.

Pour la topologie, c'est mieux d'attendre la prépa car c'est un chapitre très vaste et qui demande des cours; sinon, en général, c'est la partie du cours préférée par les vrais matheux.

[Waax22951]

Les exercices du concours général sont toujours originaux et donc imprévisible; donc la meilleure préparation est de faire des exos variés et que tu n'as jamais fait.

Pour la topologie, c'est mieux d'attendre la prépa car c'est un chapitre très vaste et qui demande des cours; sinon, en général, c'est la partie du cours préférée par les vrais matheux.

Oui, j'ai commandé des livres sur le sujet, avec évidemment des corrigés et des cours.. Je pense que si je veux réussir ce concours, je dois me préparer pour ce concours, et non faire des révisions vagues dans tous les domaines.. :lol3:
Pourquoi est-elle préférée par les vrais matheux ? :hein:

[paquito]

Oui, j'ai commandé des livres sur le sujet, avec évidemment des corrigés et des cours.. Je pense que si je veux réussir ce concours, je dois me préparer pour ce concours, et non faire des révisions vagues dans tous les domaines.. :lol3:
Pourquoi est-elle préférée par les vrais matheux ? :hein:

Parce que c'est assez subtil es souvent joli.

[Waax22951]

Parce que c'est assez subtil es souvent joli.

Je verrai bien si ça me plaira, mais si ça plaît aux autres, pourquoi pas à moi ! :lol3:
En tout cas merci pour toutes ces informations et bonne continuation ! :lol3: