Doute sur exercice sur les suites

[georges-alain]

Salut à tous!
J'ai un exercice sur les suites à faire mais, je ne vois pas comment faire la dernière question et, ne suis pas sûr de mes réponses.
J'aimerais donc que vous y jetiez un coup d'oeil svp afin de me corriger si erreur(s) il y a et, me conseiller sur la conclusion de mon exercice.


[quote]Soit la suite définie par U0 = -2 et U(n+1) = Un /(1-Un), la fonction associée à cette suite est définie par f(x) = x/(1-x).

1. Etablir un tableau de variations de f sur [-2 ; 0].
2. Prouver que, pour tout n, -2 Un est bien croissante.

4. Vn = (Un +1) / Un

* U0 = -2
* U1 = -2/3 = -0.6666
* U2 = -2/5 = -0.4
* U3 = -2/7 = -0.2857
* U4 = -14/63 = -0.2222

-------------

* V0 = 1/2 = 0.5
* V1 = -1/3 = -0.3333
* V2 = -3/2 = -1.5
* V3 = 35/(-14) = -2.5
* V4 = 3087 / (-882) = -3.5

Conjecture : Vn semble être décroissante!

Le prouver : Pour que Vn soit décroissante, il faudrait que :

Vn > Vn+1 (n+1 en indice)

avec : Vn = (Un + 1) / Un
et : Vn+1 = (Un+1 +1)/(Un+1)

avec : Un+1 = Un / 1-Un

--> Vn+1 = [(Un/(1-Un)) +1] /[(Un/(1-Un))]
--> Vn+1 = [(Un/(1-Un)) + (1-Un)/(1-Un)] / [Un/(1-Un)]
--> Vn+1 = [1/(1-Un)] / [Un / (1-Un)] = 1/(1-Un) * (1-Un/Un)
--> Vn+1 = (1-Un) / (Un - Un²)

(Un +1)/ Un > (1-Un) / (Un - Un²)
Vn est décroissante.

5. Là, je ne vois pas par où commencer donc, si ce que j'ai fait précédemment est correct, pouvez-vous m'indiquer la marche à suivre?

[Florélianne]

2 0 ou Un = 0
donc Un est négatif (ou nul)
reste à trouver le signe de (1/(1 - Un) - 1)
procède par encadrements successifs en partant du résultat de la question 2 tu arrives à prouver que c'est aussi négatif ou nul
donc le produit est positif ou nul et la suite est croissante

4° [B]V1 = -1/3 = -0.3333
V1 = (U1 + 1)/U1 = (-2/3 + 1)/ (-2/3) = (1/3)/(-2/3)
V1 = - (1 x 3) /(3 x 2) = - 1/2

5° Vn = (Un + 1)/Un = 1 + 1/Un
Vn+1 = 1 + 1/Un+1
remplace Un+1 par sa valeur donnée dans l'hypothèse et simplifie
tu devrais arriver si je n'ai pas fait d'erreur (il est tard et je suis lasse) à prouver que Vn est une suite arithmétique... donc à calculer Vn en fonction de V0 puis en déduire l'expression de Un en fonction de U0
si Vn = 1 + 1/Un on a 1/Un = Vn - 1
donc Un = 1/(Vn - 1)
Il est tard et demain (non aujourd'hui , réveil à 6h !)
Bonne journée
Florelianne@live.fr