[TermS] Double triangle rectangle

[Trapnest]

Bonjour, j'ai un problème à résoudre incluant un triangle rectangle dans un triangle rectangle.

L'objectif est de trouver la longueur x.









J'ai déjà dégagé plusieurs égalités grâce à de simples règles de trigo, je pensait utiliser un système à deux équations incluant (alpha) et x mais je suis bloqué. J'appellerai alpha a dans mes calculs :



=

=


Voilà ou j'en suis... Est-ce que j'emploie la bonne méthode ? Y a t'il plus simple ? Comment continuer ? Merci.

[chan79]

salut
l'angle en A mesure

x=

avec

x = 0.8476024 ...

il est peut-être possible de trouver la valeur exacte

[Trapnest]

Bonjour, merci de votre aide, j'ai compris la raisonnement effectué pour la mise en équation, car :

-> tan(60-a) = DE/1 = DE et sin(a) = DE/1 = DE

Mais comment faites vous pour la simplifier et obtenir x ?

[fma]

Voilà ma solution
On sait que le concours des médianes, médiatrices, bissectrices sont au 1/3 de la hauteur dans un triangle équilatéral, ce qui est vérifié ici avec le côté 1+x

[fma]

Voilà ma solution
On sait que le concours des médianes, médiatrices, bissectrices sont au 1/3 de la hauteur dans un triangle équilatéral, ce qui est vérifié ici avec le côté 1+x
(c'est bien ça, après hésitation, car l"angle alpha est imposé par la hauteur ED et l'angle CEB de 60°)

[Trapnest]

Bonjour fma, merci de votre aide, mais pouvez vous être plus précis, car je ne saisis pas dans quel triangle équilatéral vous vous placez, ni à quel segment vous faites référence pour les : médiane, médiatrice, bissectrice.

Edit : D'accord.

[fma]

Bonjour fma, merci de votre aide, mais pouvez vous être plus précis, car je ne saisis pas dans quel triangle équilatéral vous vous placez, ni à quel segment vous faites référence pour les : médiane, médiatrice, bissectrice.

Le demi triangle équilatéral, c'est ABC et E le point de rencontre


edit : On sait que le concours des médianes, médiatrices, bissectrices sont au 1/3 de la hauteur dans un triangle équilatéral, ce qui est vérifié ici avec le côté 1+x
J'ai un doute
C'est faux, car alors x=1 (en raison de ED qui devrait alors être médiatrice) ; le côté vaut en effet 3^1/2

[Trapnest]

Le demi triangle équilatéral, c'est ABC et E le point de rencontre


edit : On sait que le concours des médianes, médiatrices, bissectrices sont au 1/3 de la hauteur dans un triangle équilatéral, ce qui est vérifié ici avec le côté 1+x
J'ai un doute
C'est faux, car alors x=1 (en raison de ED qui devrait alors être médiatrice) ; le côté vaut en effet 3^1/2

D'accord, merci quand même, je vais rester sur le raisonnement de chan79 lorsqu'il m'aura éclairé dans ce cas.

[beagle]

Bah si on a le droit à wolfram cela passe sans les données d'angle,
mais comme c'est de l'équation avec des puisances 5 ou 6, hum,hum

J'ai placé I sur AC tel que BI perpendiculaire,
on a alors la recherche de x qui se divise en DI=xb et IC=xa,
avec Pythagore plus la floppée de triangles rectangles en similitude,
on trouve par exemple au hasard de grabouillis:

xb=1/2AE
xa=3/4AE(AE+1/2)

AE^2 - 1 = DE^2 = 1-x^2
donc
wolfram trouve des AE , on prend le positif sup à 1, c'est 1,132
xa vaut 0,406
xb vaut 0,442
x= 0,848

[Trapnest]

Bah si on a le droit à wolfram cela passe sans les données d'angle,
mais comme c'est de l'équation avec des puisances 5 ou 6, hum,hum

J'ai placé I sur AC tel que BI perpendiculaire,
on a alors la recherche de x qui se divise en DI=xb et IC=xa,
avec Pythagore plus la floppée de triangles rectangles en similitude,
on trouve par exemple au hasard de grabouillis:

xb=1/2AE
xa=3/4AE(AE+1/2)

AE^2 - 1 = DE^2 = 1-x^2
donc
wolfram trouve des AE , on prend le positif sup à 1, c'est 1,132
xa vaut 0,406
xb vaut 0,442
x= 0,848

Merci de ton aide, mais je n'ai pas le droit d'utiliser wolfram, autant rendre feuille blanche car cela me vaudra un 0. :triste:

Toutefois mon professeur a précisé qu'un simple système à deux inconnues suffisait, mais j'ai beau chercher depuis hier...

La piste de chan79 m'intéresse car elle suit le modèle suggéré par mon prof mais je n'arrive pas à la développer pour arriver à son résultat...

(Edit : Il a aussi mentionné qu'on pouvait utiliser le scalaire mais c'est encore plus flou !)

[fma]

J'espère qu'il y a une astuce car c'est un véritable défi, comme certains ici ont tenté de le résoudre :
http://www.ilemaths.net/forum-sujet-133011.html

[Melle Z]

je suis peut etre a coté de la plaque, mais si je nomme [AE] = y et "racine"de3 = Rac3 ( desolée je ne sais pas le faire au clavier)

et que j'utilise pythagore j'ai :

(1+x)² = (y+1/2)² + (Rac3/2)²
1+x²= y²+1/4 + 3/4
x² = y² donc x=y.

donc si on repart sur pythagore on a :

AB=3/2

(1+x)² = (3/2)²+ (Rac3/2)²
1+x² = 9/4 + 3/4
x² = 3-1 = 2

x=Rac2

non?

[Trapnest]

Non tu as mal développé les identités remarquables.

(1+x)² = 1² + 2x + x² et c'est faux à partir de là, idem pour (y+0,5)²

La solution donnée par chan79 et beagle est la bonne, il me manque la démonstration maintenant...

Merci de ton aide.

[Melle Z]

lol effectivement.... j'ai oublié mes bases.... mais c'eut été beau! :-)

[Trapnest]

En revanche, tu m'as donné une idée.
Et j'ai trouvé, avec Pythagore après 6 heures de recherche... Je te remercie.
Voici la démarche :

Equation 1 :

(1+x)² = (y+0,5)² + (sqrt(3)/2)²
1+ 2x + x² = y² + y + 0,25 + 0,75
x² + 2x + 1 - y² - y - 1 = 0
x² + 2x - y² - y = 0

Equation 2 :

x² + (y² - 1) = 1
x² + y² - 2 = 0

Ensuite y'a plus qu'a faire de la combinaison, et on tombe sur x = 0,847602...

[Melle Z]

c'est ce que j'etais en train de refaire! :-)

[fma]

En revanche, tu m'as donné une idée.
Et j'ai trouvé, avec Pythagore après 6 heures de recherche... Je te remercie.
Voici la démarche :

Equation 1 :

(1+x)² = (y+0,5)² + (sqrt(3)/2)²
1+ 2x + x² = y² + y + 0,25 + 0,75
x² + 2x + 1 - y² - y - 1 = 0
x² + 2x - y² - y = 0

Equation 2 :

x² + (y² - 1) = 1
x² + y² - 2 = 0

Ensuite y'a plus qu'a faire de la combinaison, et on tombe sur x = 0,847602...

Ok, avec y= AE
Bravo

[chan79]

Pour obtenir la valeur exacte, il semble qu'on ne puisse pas éviter la résolution d'une équation de degré 4, avec les calculs que l'on sait ...
Si on veut une valeur approchée, geogebra le fait bien
on crée la fonction f(x)=tan(pi/3-x)-sin(x)
et on calcule le cosinus de l'abscisse du point d'intersection de la courbe de f avec l'axe des x (résultat en rouge)


Ou alors, si on est un peu fou, on se lance dans les équations de degré 4 et 3 (Ferrari, Cardan)
On n'est pas vraiment au niveau lycée :zen:
on arrive à






la valeur cherchée est alors
on peut vérifier avec un tableur


Mais il y a peut-être une astuce pour éviter tout ça ... ?

x est également une des solutions de

[Trapnest]

Pour obtenir la valeur exacte, il semble qu'on ne puisse éviter la résolution d'une équation de degré 4, avec les calculs que l'on sait ...
Si on veut une valeur approchée, geogebra le fait bien
on crée la fonction f(x)=tan(pi/3-x)-sin(x)
et on calcule le cosinus de l'abscisse du point d'intersection de la courbe de f avec l'axe des x (résultat en rouge)


Ou alors, si on est un peu fou, on se lance dans les équations de degré 4 et 3 (Ferrari, Cardan)
On n'est pas vraiment au niveau lycée :zen:
on arrive à






la valeur cherchée est alors
on peut vérifier avec un tableur


Mais il y a peut-être une astuce pour éviter tout ça ... ?

Merci de ton aide, je vais écrire cette méthode aussi, je pense que ça le satisfera :ptdr: