Domaine de Fonction cyclométrique avec 1/x

[siedblack]

Bonjour,
En faisant mes exercices j'ai remarqué que je n'avais pas le même domaine de définition que ma prof pour la fonction suivante :
f(x)=Arc cos 1/x

En effet,je fais (comme je n'ai pas le signe plus petit/grand ou égal,j'ai juste mis > et < :
-1 < 1/x < 1
-x < 1 < x
et donc

x > -1 et x > 1
donc le domaine est selon moi [1;->
Hors,selon ma prof (et ma calculatrice) : <-;-1]U[1;->
Merci de bien vouloir m'aider !

[Nightmare]

Salut,

comment passes-tu de -1 < 1/x < 1 à -x < 1 < x ? Tu as multiplié par x, mais rien ne dit que x est positif...

-1 < 1/x < 1 équivaut à -1 < 1/x < 0 et 0 < 1/x < 1

La première fournit x < -1 et la deuxième x > 1. On retrouve bien la solution de ta prof.

[LeJeu]

il faut que tu distingue deux cas, x >=0 et x<=0

et à un moment , l'inégalité va s'inverser .....

EDIT : Salut Night!

[siedblack]

Merci de vos réponses :)
Cependant,je ne comprends toujours pas comment on passe de -1 < 1/x < 0 à x < -1 .
Pour la deuxième,je suppose que je peux multiplier le 1 par X parce que c'est positif?

[Nightmare]

Déjà, es-tu convaincu que ce soit vrai?

Essaye avec x=-2, x=-5, x=-0,1, x=-0,002 etc.

[siedblack]

Non,ce n'est pas tout le temps vrai,je ne sais pas quoi faire.. :cry:

[Nightmare]

Ce n'est pas tout le temps vrai puisqu'on a dit que ça l'était pour x < -1, c'est justement ça que je te demandais de vérifier par l'essai.

Pour une preuve, on utilise la décroissance de la fonction inverse : x->1/x est décroissante sur ]-oo;0[ et sur ]0;+oo[.

Donc -1 < 1/x <=> -1/1 > x, c'est à dire x < -1
et 1/x < 1 <=> x > 1/1, c'est à dire x > 1.

[siedblack]

Donc en gros il suffit de remplacer -1 < 1/x par x < 1/-1 et 1/x < 1 par 1/1 < x ! merci !