DNS produit scalaire et suites

[strange-might]

Bonjour, pourriez vous me dire si mes réponses correctes ?
Merci d'avance

Exercice 1 :

ABC est un triangle rectangle en A ;
A’ est le milieu de [BC] et H est le pied de la hauteur issue de A ; les points I et J sont les projetés orthogonaux e H respectivement sur [AB] et sur [AC].
On veut montrer que les droites (AA’) et (IJ) sont perpendiculaires.

1) Faire une figure
2) Montrer que AA’ = ½(AB+AC)
3) Justifier que : AB.IJ = AB.HA et que : AC.IJ = AC.AH
4) Utiliser les résultats précédents pour montrer que : AA’.IJ = ½(HA.CB)
5) Conclure


Exercice 1 :

2)
AA’ = AB + BA’
BA’ = A’C
AA’ = AB + A’C
AA’ = AB + A’A + AC
AA’ = AB + AC – AA’
2AA’ = AB + AC
AA’ = ½(AB+AC)

3)
= AB.IJ
= AB . (IH + HJ)
= AB.(IH + HA + AJ)
= AB.IH + AB.HA + AB.AJ
= 0 + AB.HA + 0
= AB.HA

= AC.IJ
= AC.(IA+AH)
= AC.IA + AC.AH
= 0 + AC.AH = AC.AH
= AC.AH

4)
= AA’.IJ
= ½ (AB+AC) .IJ
= 1/2(IJ.AB+IJ.AC)
= 1/2(AB.HA + AC.AH)
= ½(AB.HA – AC.HA)
= ½ ((AB-AC).HA)
= ½ ((AB+CA).HA)
= ½ ((CA+AB).HA)
= ½ (CB.HA)
5) (CB) est perpendiculaire à (AH) car (AH) est la hauteur issue de A donc :
BC.HA=0

AA'.IJ = ½ (CB.HA) = 0

Donc les deux vecteurs AA' et IJ sont orthogonaux

Donc les deux droites (AA') et (IJ) perpendiculaires.

Exercice 2 :

EFGH est un rectangle , avec EH=a et EF=2a
M le milieu de FG
k définie par vecteur HK=1/3 de vecteur HG
L est le projeté orthogonal de k sur (EM)

1° calculer en fonction de a les produits scalaires EF.EM et EH.EK
2° en calculant de plusieurs façon le produit scalaire EK.EM déterminer:
-la valeur de la longueur EL en fonction de a
-une mesure de l’angle (EM.EK) (à 0,1° près)

Exercice 2 :

1)
- EF.EM = EFxEF = EF² = 4a²
car F est le projeté orthogonal de M sur (EF)
- EH.EK = EH² = a²
car H est le projeté orthogonal de K sur (EH)

2)
a) EK.EM = (EH+HK).(EF+FM)
= EH.EF+EH.FM+HK.EF+HK.FM
= 0 +a x a/2 + 2a/3 x 2a + 0
= a²/2 + 4a²/3
= 3a²/6 + 8a²/6
= 11a²/6
L est le projeté orthogonal de K sur (EM)
EL.EM = EL x EM = EL x 17a/2 = 11a²/6
EM² = EF²+FM² = 17a²/4
EM = ;)17a²/4 = a;)17/2
EL = 11a²/6 x 2/a;)17 = 22a²/6a;)17 = 11a/3;)17

b) EK.EM = 11a²/6
EK² = EH²+HK² = a² +a²/3 = 13a²/9
EK = a;)13 / 3
EM = a ;)17 / 2
(a ;)13 /3 ) x (a;)17 x 2 ) x cos(EK ;EM) = 11a² / 6
cos (EK ;EM) = (11a² x 2 x 3) / (6 x a;)17 x a;)13 ) = 11 / ;)13 x ;)17
(EK ;EM) = 42,3°

Exercice 3 :

Un jardinier amateur tond sa pelouse toutes les semaines et recueille à chaque fois 120L de gazon coupé qu'il stocke dans un bac à compost d'une capacité de 200L.
Chaque semaine, par décomposition ou prélèvement, les matières stockées perdent les 3/4 de leur volume.
On désigne par vn le volume en Litres, stocké après n tontes. On a v0=0 et v1 = 120

1a. Calculer v2 et v3
b. Déterminer une relation de récurrence liant vn et vn+1
c. La suite (vn) est-elle arithmétique ou géométrique?

2.On définit la suite (an) des accroissements de (vn) par, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, an=vn-(vn-1)

a. Quelle est la nature de la suite (an)?
b. Exprimer an en fonction de n.

3.a. Démontrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 1:
vn= v0+ a1+ a2 + ... + an.
b. En déduire l'expression de vn en fonction de n.

4. Les conditions restant les memes, le bac de stockage sera-t-il plein un jour?

Exercice 3 :

1)
a) v2 = 120 x ¼ + 120 = 150
v3 = 150 x ¼ +120 = 157.5

b) Vn+1 = 120 + 1/4Vn

c) v4 = 159.375
v4 – v3 = 1.875
v3 – v2 = 7.5
v4/v3 = 1.01
v3/v2 = 1.05

V4-v3 ;) v3-v2
v4/v3 ;) v3/v2
Donc, la suite (Vn) n’est ni arithmétique ni géométrique

2)
a) An=Vn-V(n-1)
A(n+1)=V(n+1)-Vn
=120+(1/4)Vn-(120+(1/4)V(n-1))
=(1/4)(Vn-V(n-1))
=(1/4)An
Donc, (An) est une suite géométrique de raison q = ¼ et de 1er terme a1 = 120
b) An = A1 * (1/4)^n

3)
a) Vn = V0 + V1 – V0 + V2 – V1 + … + Vn - Vn-1
V1 – V0 = a1
V2 – V1 = a2
Vn – Vn-1 = an
Donc, Vn = Vo + a1 + a2 + … + an
b) Vn = 0 +a1 +a2 +… + an
Vn = a1 + a2 + … +an
Calcul de la somme géométrique de la suite (An)
Vn = a1 x (1-q^n+1) / (1-q)
Vn = 120 x (1-(1/4)^n) / (1 – ¼)
Vn = (120 x 1 – ¼^n ) / (3/4)
Vn = 160 – 40 x (1/4)^n

4) lim Vn = 160
160 < 200
Donc, le bac ne sera jamais plein

[strange-might]

Personne pour m'aider ??

[Manny06]

Personne pour m'aider ??

j'ai déjà repondu l'ensemble est correct mais il faut revoir les formules à la fin
revois les indices car An=A1*q^(n-1)

je t'ai répondu sur cyberpapy