Division euclidienne et congruences

[pucinette17]

bonjour j'ai du mal a résoudre cet exercice:
déterminer en fonction de l'entier naturel n, le reste de la division euclidienne de 2^n par 7.je sais qu'il faut utiliser les congruences mais comment?

[c pi]

Bonjour

As-tu déjà fait quelques expériences avec n=0, n=1...n=6
pour avoir une idée des différents cas possibles ?

[pucinette17]

oui j'ai essayé avec n= 1,2,3,4,5,6,7 et j'ai trouvé 2^1 est congru a 2[7]
2² est congru a 4[7]
2^3 est congru a 1[7]
2^4 est congru a 2[7]
2^5 est congru a 4[7]
2^6 est congru a 1[7]
2^7 est congru a 2[7]
mais je ne sais pas si c suffisant de dire que les restes sont 2,4,1,2,4,1,2

[c pi]

Non biensûr, ce n'est pas suffisant !
Mais quand on sait à quoi aboutir, on a plus de chances d'y parvenir...

A partir de tes exemples,
essaie d'exprimer le reste de la division euclidienne de 2^n par 7
en fonction de n

[pucinette17]

comment ca? je ne compren pas

[c pi]

Les restes obtenus 1, 2 et 4 sont des puissances de 2,
tu peux donc les écrire sous la forme 2^x.
Ecris ce x en fonction de n en t'inspirant de quelques exemples.

[pucinette17]

je suis vraiment désolée mais je ne comprend pa du tout.
peux tu me donner un exemple stp?

[c pi]

si n=0 alors 2^n est congru à 1[7] et ce 1=2^...
si n=1 alors 2^n est congru à 2[7] et ce 2=2^...
si n=2 alors 2^n est congru à 4[7] et ce 4=2^...
si n=3 alors 2^n est congru à 1[7] et ce 1=2^...
si n=4 alors 2^n est congru à 2[7] et ce 2=2^...
si n=5 alors 2^n est congru à 4[7] et ce 4=2^...
si n=6 alors 2^n est congru à 1[7] et ce 1=2^...

si n=N alors 2^N est congru à x[7] et ce x=2^...

puis le démontrer pour n=N+1