Division dans Z spé maths TS (+récurrence)

[darkpit]

Salut, je suis nouveau sur le forum et ceci est mon premier message ^^

J'ai choisi spécialité maths en terminale S et j'essaie de faire un exercice, mais je reste bloqué à la première question :triste: pouvez-vous m'aider?

Voici l'énoncé :

a et b désignent deux entiers naturels non nuls.
1. Montrer par récurrence que pour tout entier n non nul


2. En déduire que si un entier c divise a-b, alors c divise .
La réciproque est-elle vraie ? (on pourra prendre a=3, b=2 et n=4

Merci d'avance!

[ghghgh]

Salut ! et bienvenue sur ce forum alors pour ta première question, la démarche à suivre est :

tu remarques que :

x^n - a^n = (x-a)(x^(n-1) + x^(n-2)a + ... + xa^(n-2) + a^(n-1)

(c'est la somme de k = 0 à n-1 des (x^(n-1-k) a^k))

puis tu poses l'opération

(x^(n-1) + x^(n-2)a + ... + xa^(n-2) + a^(n-1)
* (x-a)

tu calcules et tu remarques que ça se simplifie pour ne donner que x^n - a^n :)

voilà c'est tout

[ghghgh]

hum, dsl, mal lu, si tu veux prouver par récurrence, utilise la formule :

somme de k = 0 à n-1 des x^(n-1-k) a^k

[RouJ]

x(n-1) + x(n-2)a +...+xa^(n-2) + a(n-1) x (x-a)

-x^(n-1)a - x^(n-2)a -...- xa(^n-1) - a^n
x^n + x^(n-1)a + x^(n-2)a² +...+ xa(n-1)

[darkpit]

merci mais le problème est qu'il faut le démontrer par récurrence (avec l'hérédité)

edit : désolé je n'avais pas vu les dernières réponses, ça va tellement vite! :we:

Merci

edit : merci beaucoup Jéjouille, en fait je n'avais pas pensé à dire que (a-b)|a^n-b^n

en fait après j'ai développé k dans l'équation et ça valide la récurrence pour k+1