N(n²-1) divisible par 24 si n est impair ?

[Louitos]

Bonjour,

Je cherche à démontrer que n(n²-1) est divisible par 24 si n est impair.

Si n est impair, il peut s'écrire sous la forme 2N+1 avec N pair.
Ainsi n(n²-1) = 8N^3+12N²+4N
Suis-je sur la bonne voie, comment conclure ?

Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

Merci d'avance

Louitos

[annick]

Bonjour,
as-tu vu les congruences ?
D'autre part, si n=2N+1, alors, N n'a pas besoin d'être pair pour que n soit impair. (exemple : N=3, n=7)

[Louitos]

Bonsoir Annick,

Non je n'ai pas abordé les congruences.
J'ai essayé avec les premiers impairs et cela fonctionne. Un raisonnement par récurrence serait-il envisageable ?
Je n'ai jamais fait d'arithmétique donc je na sais pas trop par où commencer.
J'ai remarqué que dans 8N^3+12N²+4N la somme des coefficients du polynôme donne 24. Est-ce une piste de recherche ?

Louitos

[Sylviel]

Bonsoir,

je ne pense pas que tu soit partie dans la bonne direction en développant. Il vaut mieux factoriser.

Ensuite comment montrerais tu que
n(n+1) est divisible par 2 ?

Finalement pour montrer qu'un nombre est divisible par 24 il suffit de montrer qu'il est divisible par 3 et par 8...

[Louitos]

n(n²-1)=n(n-1)(n+1)
Si n est impair alors n-1 est pair et n+1 est pair donc n(n²-1) est divisible par 4 (pas encore 8).
Montrer qu'un nombre est divisible par 3 :
somme des chiffres multiple de 3 mais je ne sais pas l'appliquer à ce problème.

[Sylviel]

comment montrerais tu que
n(n+1) est divisible par 2 ?

[annick]

On a 3 nombres consécutifs (n-1), n, (n+1) donc que peut-on en déduire sur la divisibilité par 3 du produit de ces trois nombres ?

[Louitos]

ok j'y suis !

(n-1)n(n+1) sont trois nombres consécutifs avec n impair :
- n-1 et n+1 sont donc pairs et l'un des deux est forcement un multiple de 4 donc (n-1)(n+1) divisible par 8.
- de trois nombres consécutifs : un est divisible par 3.

(n-1)n(n+1) est donc divisible par 8 et 3 donc par 24 !

Merci pour votre aide.

PS : une démo par récurrence est-elle vraiment inenvisageable ?

[Kikoo <3 Bieber]

Salut,

Si tu es en spé maths, une récurrence ne sera pas la bienvenue, car on s'attend à ce que tu résolves cet exo avec de l'astuce, et surtout un peu d'arithmétique modulaire (voire même arithmétique classique).

[Sylviel]

Heu... en fait je ne vois pas vraiment ce que t'apporteras de la récurrence. L'explication que tu as donnée est claire et complète.

[fatal_error]

salut,

pour la récurrence oui c'est aussi envisageable. Même si on peut s'en passer comme dit plus haut.
Tu supposes que c'est vrai pour un n impair donné (donc n(n^2-1)=n^3-n divisible par 24)
le n impair suivant est n+2
donc tu regardes si (n+2)[(n+2)^2-1] est divisible par 24.
En développant, t'essaies de faire intervenir n^3-n (parce que tu sais que c'est divisible par 24) et un delta (qu'il faut que tu montres que c'est divisible par 24). Ca te donne un truc genre
(n+2)[(n+2)^2-1] = n^3-n + [6n^2+12n+6]
et faut montrer que le terme entre crochet est divisible par 24