Divisibilité

[Nekster]

Bonjour j'ai un petit soucis avec un exercice:


Soit a et b deux entiers naturel
Trouvez tous les couples (a,b) qui satisferont la condition : m-d=77 ( m: ppcm (a,b) et d pgcd (a,b))

[Elias]

Salut,


Tu peux peut être déjà regarder ce qu'il se passe lorsque a et b sont premiers entre eux.
Dans ce cas, pgcd(a,b)=1 et ppcm(a,b)=ab et donc on peutv regarder l'équation ab-1=77, soit ab=78 = 2 * 3 * 13

Cela permet de donner les diviseurs de 78 et de conclure dans cette situation.

Sinon, en.toute généralité, comme d = pgcd(a,b), il existe a' et b' entiers (même premiers entre eux) tels que a = d a' et b = d b'

En utilisant m = ab/d, l'existence d'une solution de l'équation implique :
(ab)/d - d = 77

soit (d^2 a'b')/d -d =77 soit d(a'b' -1)=77 et donc cela implique que d divise 77.

Y'a donc pas 36000 possibilités pour d :

En comptant les diviseurs de d, on se rend compte que d peut être égal à 1,7,11 ou 77.

Il suffit de résoudre ensuite les équations associées.

Par exemple, si d=7, l'équation devient :
ab/7 -7 = 77, soit ab=588 = 2^2 * 3 * 7^2

Tu dois donc trouver a,b tels que pgcd(a,b)=7 et ab= 2^2*3 * 7^2

Ben tu peux prendre a= 7* (2^2) et b = 7* 3 ou a = 7*2^2*3 et b = 7
Bien sûr, on peut aussi échanger les rôles de a et b.
Etc..

[Nekster]

oui en reflechissant avec ma classe on est arrivé au même résultat. D divise 77 et ensuite on les prend au cas par cas.Merci beaucoup

[Lostounet]

Salut, Voici ce que j'ai tenté (après la bonne méthode 'classique' de Trident avec la divisibilité)

m - d = 77
Signifie que m + (-d) = 77

Par ailleurs, il est bien connu que ppcm(a;b) * pgcd(a;b) = ab
Donc que md = ab, donc que m(-d) = -ab

Ainsi m + (-d) = 77
m(-d) = -ab

Deux nombres m et d dont on connait la somme S = 77 et le produit P=-ab sont solution de:




De discriminant: . Il est nécessaire que 77^2 + 4ab soit un carré parfait.

Pour le moment je réfléchis: comment exploiter cette condition..Si quelqu'un aurait une idée?
Il existerait alors k tel que (77 - k)(77 + k) = 4ab...

[Elias]

Salut Lostounet

On peut montrer que le discriminant est un carré parfait au moins lorsque le produit ab est sous la forme k(k+77) avec k entier.

Si on remplace dans 77^2+4ab, ça donne (77+2k)^2.

Mais le fait d' être un carré parfait pour le discriminant n'est pas une condition suffisante pour que a et b soient solutions de l'équation initiale donc il faudraot tester pour tous les entiers k=1,2,3,\dots (peut etre un nombre fini de tests si on arrive à majorer ab à partir de l'équation, ce qui n'est pas bien dur) s'il existe a et b solutions de l'équation initiale et vérifiant ab=k(k+77).
Déjà, pour k fixé, y'a beaucoup de produits qui donnent k(k+77) donc je pense que sans une condition sur la conaissance du pgcd de a et b, ça va être difficile.

[Lostounet]

Merci pour ta réponse!

J'ai essayé de former un carré comme ceci, mais effectivement même avec un carré parfait il reste une autre contrainte de parité aussi...

Bref, dommage mais ça ne marche pas pour le moment :p

[nodgim]

@ Lostounet: il me semble qu'il est tout de même très utile de remarquer que d divise m, et donc aussi m-d, donc 77.