Divisibilité d'un produit de termes consécutifs

[Dinozzo13]

Bonjour, aujourd'hui je me suis remet à l'arithmétique et donc, suite à quelque expériences sur la divisibilité de produits de nombres entiers successifs, je viens vous soumettre une formule généraliste concernant la divisibilité d'un produit d'entiers consécutifs.
On se donne un nombre défini pour tout tel que par :

Après quelque essais, je suis parvenu à la conclusion que :

ou bien que divise .
Cela parraît-il correct ?
Merci d'avance ^^.

[Dinozzo13]

Pour info, je me suis appuyé sur quelque exemple :
(n-1)n(n+1) est divisible par 2 et 3 donc par 6
n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) est divisible par 5!=120

[Zweig]

Salut,

Ta conjecture est correcte, c'est un résultat "classique" en Arithmétique (j'entends par connu).

En ce qui concerne la démonstration, cela utilise le fait que les coefficients binôminaux sont entiers.

En effet, remarque que



Si ces nombres sont tous négatifs, on prend leur opposé. Sinon, c'est que l'un d'eux est nul, donc le produit est nul, qui est bien un entier.

[Dinozzo13]

Oh lala, ca fait du bien ^^ de conjecturer des trucs surtout en arithmétique.
Perso, ca va peut-être vous faire rire, en tout cas moi oui mais, je trouve que l'arithmétique est un raisonnement très puissant :++: