Divisibilité pour spé maths

[Frednight]

Bonjour à tous

Mon prof de maths m'a donné l'exercice suivant :

Soient et

Montrer que divise , et ,

Pour le premier j'ai pas eu de problème (merci l'identité remarquable...)

Pour le second j'ai fait :



Pour ce dernier, est-ce que la justification est suffisante?

Et enfin, pour le dernier, je ne trouve pas....
quelqu'un pourrait-il memettre sur la voie?


Merci d'avance pour toute réponse

[girdav]

Bonjour.
Oui, il faut juste dire que est un entier.
Pour le dernier, si tu ne connais pas la formule de factorisation tu peux écrire
et continuer pour voir le "truc" apparaître.

[Frednight]

je m'excuse mais je ne comprends pas pourquoi on peut affirmer le dernière égalité

[girdav]

En fait je bricole pour faire apparaître une factorisation par .

[Frednight]

c'est surtout qua je comprends pas la façon dont vous bricolez en fait.... je ne comprends pas le développement....

Vous vous etes servi des suites numériques?

[girdav]

En fait je met devant et j'ajoute ce que j'ai retiré:

[Frednight]

mais pourquoi le se transforme en ?

[girdav]

Parce que quand tu multiplie par a tu retrouves .

[Dislix]

Hypothèses :a;)b Conclusion : a;)b^n
a
b

Démonstration :

k tel que b = a x k

k tel que b = (a*k)^n
q tel que b = a*q avec q = b^(n-1) *k^n entier

b|a^n

Donc a|b^n

------------------------------------------------------------------------------------------------
Hypothèse : a|b Conclusion : a-b|a^n-b^n
a
b

Démonstration :

k tel que a = b*k
k tel que tel que a^n = (b*k)^n
k tel que tel que b^n = (a*k)^n
k tel que a^n-b^n = (b*k)^n-(a*k)^n
q tel que a^n-b^n = (a-b)q avec q = [(a^(n-1)*k^n)-(b^(n-1)*k^n)] entier (si je ne me trompe pas)

donc a-b|a^n-b^n

Je n'ai pas vérifié pour q = [(a^(n-1)*k^n)-(b^(n-1)*k^n)] mais cela semble juste.

Bonne journée

[Tiruxa]

Par récurrence

Supposons que a-b divise a^k-b^k pour tout entier k inférieur à n

Démontrons que a-b divise a^(n+1)-b^(n+1)

Par hypothèse
a-b divise (a^n-b^n)a+(a^n-b^n)b qui est égal à a^(n+1)-b^(n+1)-ab[a^(n-1)-b^(n-1)]

Comme a-b divise -ab[a^(n-1)-b^(n-1)] par hypothèse on en déduit que a-b divise a^(n+1)-b^(n+1)

ce qui permet de conclure

[chan79]

en complément de ce qui a été dit
on suppose

d'après la ligne précédente

soit

[paquito]

On peut aussi soupçonner l'identité remarquable:

, puisque on l'a vue pour n=3 et que l'on peut vérifier facilement pour n =4;

on obtient: =

Identité qui est valable aussi, bien sûr, dans