Divisibilité d'un polynome dans N

[Dinozzo13]

Bonjour, j'aimerai savoir juste par curiosité, comment feriez-vous cet exercice et plus précisément avec quelle(s) méthode(s) ?

Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, l'expression définie par :
est divisible par 6.

[benekire2]

c'est pas un polynôme ton truc ...

[Dinozzo13]

Oui, ^^ en effet, "corrigé"

[Nightmare]

Salut,

si 6^n est bien le premier terme, il s'agit de montrer que Q(n)=n^5-n^4-n^3+n² est divisible par 6, ou de manière équivalente, qu'il est divisible par 2 et 3.

Une méthode simple est le petit théorème de Fermat :

Si n est divisible par 3, il est clair que Q(n) aussi. Sinon, d'après le petit théorème de Fermat, on a modulo 3 : n²=1, puis n^3=n, n^4=1 et n^5=n et finalement Q(n)=n-1-n+1=0.

Même idée pour montrer que c'est divisible par 2.

[benekire2]

mais bon ... on s'en fout au pire ... t'as qu'a dire que 6^n est divisible par 6 et que n^5-n^4-n^3+n^2=(n-1)²n²(n+1) (sauf erreur) et conclure.

[Dinozzo13]

Ah ok, moi je pensais pareil pour
Mais après je factorise ce qui reste et je trouve Ca marche aussi ?

[Nightmare]

Ta forme factorisée ne correspond pas à notre polynôme !

Edit : Maintenant oui :lol3:

Edit 2 : Donc effectivement ça marche, sous réserve de factoriser un peu plus et de dire que parmi 3 réels consécutifs, il y en a forcément un divisible par 3 et un divisible par 2. (C'est possible que ce soit le même, mais c'est bien entendu loin d'être embêtant)

[Dinozzo13]

ouais, je sais pas ce que j'ai ce soir, je suis crevé, je fais n'importe quoi !!
Je reviendrai demain parce que là je suis mort, @+ Nightmare et Bennekire2 :+++:

[benekire2]

juste un truc au passage, que nightmare t'as fait remarqué,

sur la forme que j'ai donné il y a trois entiers consécutifs, donc fallait surtout pas re-factoriser après :id: mais dans tout les cas il y avait plein de méthodes de s'en sortir je pense !

[Dinozzo13]

Ok, merci pour vos avis :++:
---> je retourne à la discussion sur les suites.