Divisibilité et PGCD / TS

[Reynolds_05]

Bonjour à tous,
J'ai actuellement un exercice à faire pour la semaine prochaine mais je coince dés la première question.

Voici l'énoncé :
n est un naturel,
a = n^2+4
b = 2n+5

=> Calculer 2a-nb. En déduire que si d est un diviseur commun à a et b alors d divise 41.
Que peut-on dire de PGCD(a,b) ?
2n+5=2(n-18)+41. Montrer que 41|b <=> Zt € N / n=41t+18
_____________________________________________________________________________________
Pour la première question, j'ai effectuée des démarches qui ne tiennent pas la route.
Les voici :
on a 2a-nb <=> 8-5n

d est un diviseur de n^2+4 et 2n+5
d|n^2+4 et d|2n+5
donc d|8-5n

Si a^b=41, alors 41|a et 41|b
soit 41|8-5n
donc 8-5n=41k
(8-41k)/5 = n

Mais je n'arrive pas a effectué la suite,
Pouvez-vous m'aider ?

Merci de votre aide,

[Reynolds_05]

Puis-je déramer par ces calculs :

On dit que comme d divise 2n+5 et comme d divise 8-5n,
alors d divise (8n-5)+(2n+5)
donc d divise 2(8-5n)+5(2n+5)

Merci de votre aide.

[XENSECP]

Ca m'a l'air bien. Tu as fini non ? :)

[Reynolds_05]

Pour la suite, je ne suis pas du tout sûre de moi...

Alors,
Puisque 2(8-5n)+5(2n+5)=41,
on a PGCD (a,b) = 1 ou 41

Mais je suis totalement bloqué sur la deuxième question :
2n+5=2(n-18)+41. Montrer que 41|b <=> il existe t € N / n=41t+18

Avez vous des pistes de départ ?
Merci d'avance,

[XENSECP]

Hum il y a une équivalence donc 2 sens à démontrer et le sens <= me semble assez simple non ?

[Reynolds_05]

Je pensais remplacer n par 41t+18.

on a alors 2(41t+18-18)+41
d'où 82t+41

Or 41|2(n-18)+41, donc 41|b.

Mais comment démontrer que n=41t+18 ?

[XENSECP]

Si 41 divise b alors :

b = 2n + 5 = 41k.

Reste juste à trouver le "k" qui te ramène à l'expression en "t" ;)

[Reynolds_05]

Alors on a 2(n-18)+41=41k
Or, d'après le théorème de Gauss on a
41k divise n-18
d'où n=41k+18
soit n=41t+18

Est ce une bonne démarche ?

[XENSECP]

Ca m'a l'air bien oui.

Pour la rédaction tu peux probablement utiliser "t" au lieu de "k".

[Reynolds_05]

OK, merci encore.
Donc pour démontrer que 41|a, il faudra utiliser la même méthode ?

[XENSECP]

Hum oui. En remplaçant n par 41t+18 dans l'expression de a, tu tombes sur quelque chose divisible par 41.

Dans l'autre sens je réfléchis..

[Reynolds_05]

Merci encore.
Je ne vois pas comment faire dans l'autre sens...

[Reynolds_05]

Je ne vois pas comment montrer que 41|a.
On a a=n²+4
donc (41t+18)²+4=1681t²+1476t+328

Faut il utiliser l'expression 2a-nb ?

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J'ai également vu que si 41 divise a,
alors ,n²+4=41k
donc n²=41k-4
Mais je bloque à ce niveau,
Que faire ?