Divisibilité par 7

[OpenSpirit]

[FONT=Trebuchet MS]Bonjour à tous! J'ai un DM dans 3 jours et je bloque sérieusement - si quelqu'un peut m'expliquer svp, voici l'énoncé:

Démontrer de deux façons que, pour tout entier naturel n, l'entier 2*9^n - 9*2^n, est divisible par 7.
J'ai essayé la factorisation, en vain...
Merci [/FONT]

[TNTC]

[FONT=Trebuchet MS]Bonjour à tous! J'ai un DM dans 3 jours et je bloque sérieusement - si quelqu'un peut m'expliquer svp, voici l'énoncé:

Démontrer de deux façons que, pour tout entier naturel n, l'entier 2*9^n - 9*2^n, est divisible par 7.
J'ai essayé la factorisation, en vain...
Merci [/FONT]

Salut... appelons u(n) l'entier en question.

Première méthode : par récurrence.

Vérifions en n=0 :

u(0) = 2*9^0 - 9*2^0 = 2*1 -9*1 = 2 - 9 = -7.

Or -7 = 7 * -1 donc pour n=0, u(0) est divisible par 7.

La proposition est vraie au rang n=0.
Supposons que la proposition soit vraie en rang n qu'en est-il au rang n+1 :

u(n+1) = 2*9^(n+1) - 9*2^(n+1) est-il divisible par 7 ?

u(n+1) = 2*9^(n+1) - 9*2^(n+1)
réduisons d'une puissance :
u(n+1) = 2*9*9^n - 9*2*2^n
u(n+1) = 18*9^n - 18*2^n
petite astuce : 18*2^n = 81*2^n - 63*2^n

Donc
u(n+1) = 18*9^n - (81*2^n - 63*2^n)
u(n+1) = (18*9^n - 81*2^n) + 63*2^n
u(n+1) = 9*(2*9^n - 9*2^n) + 63*2^n
u(n+1) = 9*u(n) + 63*2^n
u(n+1) = 9*u(n) + 9*7*2^n
u(n+1) = 9*(u(n) + 7*2^n)

or u(n) est divisible par 7 et 7*2^n est divisible par 7 donc (u(n) + 7*2^n) l'est aussi.

CCL :
u(0) est divisible par 7.
si u(n) est divisible par 7 u(n+1) l'est aussi.
CQFD.

Pour une seconde méthode ... je n'ai pas cherché...

[annick]

Bonjour,
on peut utiliser aussi les congruences.