Divisibilité et nombres premiers

[SimonY]

Yop,
une affirmation donnée en cours de spé math, il faut dire si elle est vraie ou fausse :

Un nombre entier qui admet exactement 15 diviseurs positifs possède exactement 2 facteurs premiers distincts.

Vrai, faux ? Pourquoi ?

Je bloque

[zygomatique]

salut

soit n cet entier ...

à quelle condition 2 ne divise pas n ?
à quelle condition 3 ne divise pas n ?
à quelle condition 5 ne divise pas n ?

ou :

suppose que n n'a qu'un seul diviseur premier ...

[SimonY]

à quelle condition 2 ne divise pas n ?

n n'est pas égal à 2k

à quelle condition 3 ne divise pas n ?

n n'est pas égal à 3k

à quelle condition 5 ne divise pas n ?

n n'est pas égal à 5k



Mais je vois pas où tu veux en venir..

[zygomatique]

réponse triviale .... sans intérêt ....

et ce n'est pas tant la réponse qui m'intéresse ... mais l'idée qu'il y a derrière ...

[SimonY]

Bah justement, je ne vois pas l'idée derrière

[SimonY]

Je pense avoir ma démonstration, et je vois toujours pas ce que tu voulais dire zygomatique...

Dans le cas où n entier se décompose sous la forme d'un produit de nombre premier avec une puissance :

15 se factorise uniquement avec les formes 1*15 et 3*5. Pour qu'un n entier ai 15 diviseurs, il faut donc que (a+1)(b+1)=15. [a et b sont les exposants des nombres premiers de sa décomposition].
Or, on a vu que 15 ne se factorise qu'avec 2 entiers, pas 3, pas 4 etc.. Ainsi, il n'y a que 2 nombres premiers qui le décomposent. Ses diviseurs sont alors ces 2 nombres premiers, et des produits de ces nombres premiers à différents degrés. Ces diviseurs là ne sont donc plus premiers.


Dans le cas où n entier se décompose sous la forme d'une puissance d'un nombre premier :

15=a+1 donc a = 14
Ainsi, un n entier qui s'écrit sous la forme d'un nombre entier puissance 14 a bien 15 diviseurs mais seulement un nombre premier parmi eux.


Donc l'affirmation est fausse, car un nombre entier qui a 15 diviseurs possède soit 1 soit 2 facteurs premiers.

[SimonY]

Ma démonstration est-elle correcte?

[nodjim]

Oui c'est correct.

[SimonY]

Merci beaucoup !