Divisibilité et nombres premiers

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Clembou
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Divisibilité et nombres premiers

par Clembou » 01 Juil 2012, 12:20

Bonjour à tous,

je viens de passer mes oraux de CAPES de Mathématiques et pendant ces épreuves, j'ai voulu exposer un exercice sur l'indicatrice d'Euler mêlant probabilités et arithmétique.

Dans l'exercice, il m'était demandé de montrer l'équivalence suivante :

Soit et deux nombres premiers distincts. Montrer que :



avec un nombre entier.

Bien entendu, l'implication directe est très facile mais je n'ai pas réussi à montrer la réciproque (même maintenant).

Donc question, est-ce que la réciproque se montre facilement (auquel cas j'aurai un peu la honte) ? difficilement ? ou la réciproque est fausse ?

Merci d'avance,
Clément



Kikoo <3 Bieber
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par Kikoo <3 Bieber » 01 Juil 2012, 12:29

Bonjour Clément,

Sans penser dire n'importe quoi, ne suffit-il pas d'écrire la décomposition en facteurs premiers de a ?



J'en profite d'ailleurs pour croiser les doigts ;)

Joker62
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par Joker62 » 01 Juil 2012, 13:32

pq|a => il existe k dans Z tel que a = kpq => a = (kp)q => q|a car kp dans Z

de même pour p

En fait on s'en fiche qu'ils soient premiers dans la réciproque.

C'était quoi ton tirage ?

manoa
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par manoa » 01 Juil 2012, 13:36

Clembou a écrit:
Bien entendu, l'implication directe est très facile mais je n'ai pas réussi à montrer la réciproque (même maintenant).

Donc question, est-ce que la réciproque se montre facilement (auquel cas j'aurai un peu la honte) ? difficilement ? ou la réciproque est fausse ?

Merci d'avance,
Clément


euh, c'est plutôt la réciproque qui est directe : q|qp et pq|a => q|a , de même pour p.
l'implication directe, demande à ce que je me rappelle l'usage de Bézout.

(ou alors on ne conçoit pas directe et réciproque de la même manière :lol5: )

Kikoo <3 Bieber
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par Kikoo <3 Bieber » 01 Juil 2012, 13:54

Le tirage est visible sur le site de M. B :

Equations du second degré à coeff réels ou complexes
Séries numériques

Clembou
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par Clembou » 01 Juil 2012, 15:12

M. B ?

Oui, c'est bien ce couplage que j'ai eu :)

J'ai fait un compte-rendu détaillé de mes oraux ici : http://cboumaths.wordpress.com/2012/06/29/compte-rendu-des-epreuves-orales-du-capes/

Kikoo <3 Bieber
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par Kikoo <3 Bieber » 01 Juil 2012, 15:34

*M. Boulonne* ;)

Clembou
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par Clembou » 01 Juil 2012, 15:48

manoa a écrit:euh, c'est plutôt la réciproque qui est directe : q|qp et pq|a => q|a , de même pour p.
l'implication directe, demande à ce que je me rappelle l'usage de Bézout.

(ou alors on ne conçoit pas directe et réciproque de la même manière :lol5: )

Je pense que j'ai confondu dans la définition de divisibilité (avec la fatigue (levé à 4h du mat pour passer à 9h) et le stress). Le Jury a dû être un peu surpris quand je leur ai dis que j'ai réussi l'implication directe et que je me suis planté dans la réciproque :P

 

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