Divisibilité et congruences (spé maths)

[lesmathsenfolie]

Bonjour,

Je cherche à démontrer que, pour tout n entier naturel 2^(n+2)+3^(2n+1) est divisible par 7.

Je pourrais faire cette démonstration par récurrence mais le cours portant sur les congruences, j'imagine que ça n'est pas ce que le professeur attend...

Par conséquent, j'ai essayé : pour tout n entier naturel

• 2^(n+2) = 2^n x 2^2
• 3^(2n+1) = (3^2)^n x 3

Ensuite :

• 2 congru à 2 modulo 7
donc 2^n congru à 2^n modulo 7
soit 2^(n+2) congru à 2^n x 4 modulo 7

(j'ai en fait ajouté l'exposant n puis multiplié par 2^2= 4 le reste précédent, mais je ne sais pas si c'est exact/approprié)

• 3^2 congru à 2 modulo 7
donc (3^2)^n congru à 2^n modulo 7
c-à-d 3^(2n+1) congru à 2^n x 3 modulo 7

(j'ai multiplié par 3 le reste obtenu à la deuxième étape pour obtenir l'exposant 2n+1... encore une fois je ne sais pas si c'est approprié !!!)

Finalement, on fait l'addition, on obtient donc :

2^(n+2) + 3^(2n+1) congru à 2^n x 4 + 2^n x 3 = 2^n(4+3) = 7x2^n

J'ai donc bien 7 en facteur mais cela suffit-il pour dire que c'est divisible par 7 ? ou dois-je présenter la réponse autrement ?

Merci beaucoup
lesmathsenfolie

[anthony_unac]

Bonsoir,
Si est en facteur alors il est clair que l'expression est divisible par pour tout
Le raisonnement se tient a part peut être ce modulo 5 que je ne comprends pas

[lesmathsenfolie]

Oui désolée pour le modulo 5 c'était une erreur ! C'est bien sûr modulo 7...
Merci beaucoup !!

[Lostounet]

Salut


• 2^(n+2) = 2^n x 2^2
• 3^(2n+1) = (3^2)^n x 3

9=2(mod 7)
Donc (3^2)^n=2^n (mod 7)

Finalement 2^(n+1)+3^(n+2)=2^n×(2^2+3)=0 (mod 7)

[zygomatique]

salut





donc un raisonnement par récurrence permet de prouver le résultat demandé ... sans avoir besoin de passer par les congruences ...

[anthony_unac]

Bonjour,
Un raisonnement par récurrence est correct mais là pour le coup vous partez avec une expression de u_n incorrecte (cf. la valeur u_1)

[nodgim]

Modulo 7 :
4*2^n + 3* 9 ^n = (-3)*2^n + 3* (2^n)= 0 [7]

[zygomatique]

Bonjour,
Un raisonnement par récurrence est correct mais là pour le coup vous partez avec une expression de u_n incorrecte (cf. la valeur u_1)

[anthony_unac]

Et oui

[zygomatique]

ha ok ... une erreur sans importance ... un simple 3 au lieu d'un 2 et qui ne change rien ....






donc un raisonnement par récurrence permet de prouver le résultat demandé ... sans avoir besoin de passer par les congruences ...

[lesmathsenfolie]

Oui effectivement, j'aimerais autant passer par la récurrence mais comme je l'ai dit dans mon annonce, le cours portant sur les congruences et non sur la récurrence, j'imagine que le professeur veut nous voir pratiquer et utiliser les propriétés et notions spécifiques au cours de spécialité.

[zygomatique]

bien sur ... si tu en es déjà aux congruences ...

j'enseigne en spé ... et avant de commencer les congruences il y a beaucoup de travail ...