Divisibilité et congruence en term S

[Anonyme]

Je suis en terminale S et
Je rencontre qques difficultées
pour un exercice, pouvez vous m'aider avec qques explications...

E est l'ensemble des naturels qui peuvent s'écrir
sous la forme 9+a² ou a est un entier naturel non nul
On se propose dans cet exercice d'étudier l'exixtence
d'éléments de E qui sont des puissances de 2, 3 ou 5

1) équation d'inconnue a: 9+a²=2^n
(a appartient a N et n appartient a N, n> ou= 4)
-a) montrer que si a existe, a est impair
-b) en raisonnant modulo 4, montrer que l'équation n'a pas de
solution
2) équation 9+a²=3^n
(a appartient a N et n appartien a N, n> ou=3
-a) montrer que si n>ou=3, 3^n est congru a 1 ou 3 modulo 4
-b) montrer que si a existe, il est pair et en déduir que
necessairement
n est pair
-c) on pose n=2p, ou p est un entier naturel, p>ou=2.deduire d'une
factorisation de 3^n-a², que l'équation n'a pas de solution
3) équation 9+a²=5^n
( a appartient a N, n appartient a N et n>ou=2)
-a) en raisonnant modulo 3 montrer que l'équation est impossible si
n est impair
-b) on pose n=2p. En s'inspirant de 2.c démontrer qu'il existe un
unique entier naturel a tel que a²+9 soit une puissance de 5.

Merci

[Anonyme]

dis nous ce que tu as su faire et ce que tu n'as pas su faire...

"F.B." a écrit dans le message de news:
417ff91f$0$3571$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> Je suis en terminale S et
> Je rencontre qques difficultées
> pour un exercice, pouvez vous m'aider avec qques explications...
>
> E est l'ensemble des naturels qui peuvent s'écrir
> sous la forme 9+a² ou a est un entier naturel non nul
> On se propose dans cet exercice d'étudier l'exixtence
> d'éléments de E qui sont des puissances de 2, 3 ou 5
>
> 1) équation d'inconnue a: 9+a²=2^n
> (a appartient a N et n appartient a N, n> ou= 4)
> -a) montrer que si a existe, a est impair
> -b) en raisonnant modulo 4, montrer que l'équation n'a pas de
> solution
> 2) équation 9+a²=3^n
> (a appartient a N et n appartien a N, n> ou=3
> -a) montrer que si n>ou=3, 3^n est congru a 1 ou 3 modulo 4
> -b) montrer que si a existe, il est pair et en déduir que
> necessairement
> n est pair
> -c) on pose n=2p, ou p est un entier naturel, p>ou=2.deduire d'une
> factorisation de 3^n-a², que l'équation n'a pas de solution
> 3) équation 9+a²=5^n
> ( a appartient a N, n appartient a N et n>ou=2)
> -a) en raisonnant modulo 3 montrer que l'équation est impossible
si
> n est impair
> -b) on pose n=2p. En s'inspirant de 2.c démontrer qu'il existe un
> unique entier naturel a tel que a²+9 soit une puissance de 5.
>
> Merci
>
>

[Anonyme]

Pour la question 1)a, le plus simple est de faire un raisonnement dit "par
l'absurde" :

si a est pair, a=2p (p entier), donc l'équation s'écrit, donc ... on arrive
à une impossibilité ... donc a ne peut pas être pair.

le suite ne me paraît pas très difficile pour un élève de Term S,
raisonnement sur les modulos des 2 membres d'une équation ...

Dis-nous où ça coince.

Christian

"F.B." a écrit dans le message de news:
417ff91f$0$3571$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> Je suis en terminale S et
> Je rencontre qques difficultées
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> E est l'ensemble des naturels qui peuvent s'écrir
> sous la forme 9+a² ou a est un entier naturel non nul
> On se propose dans cet exercice d'étudier l'exixtence
> d'éléments de E qui sont des puissances de 2, 3 ou 5
>
> 1) équation d'inconnue a: 9+a²=2^n
> (a appartient a N et n appartient a N, n> ou= 4)
> -a) montrer que si a existe, a est impair
> -b) en raisonnant modulo 4, montrer que l'équation n'a pas de
> solution
> 2) équation 9+a²=3^n
> (a appartient a N et n appartien a N, n> ou=3
> -a) montrer que si n>ou=3, 3^n est congru a 1 ou 3 modulo 4
> -b) montrer que si a existe, il est pair et en déduir que
> necessairement
> n est pair
> -c) on pose n=2p, ou p est un entier naturel, p>ou=2.deduire d'une
> factorisation de 3^n-a², que l'équation n'a pas de solution
> 3) équation 9+a²=5^n
> ( a appartient a N, n appartient a N et n>ou=2)
> -a) en raisonnant modulo 3 montrer que l'équation est impossible si
> n est impair
> -b) on pose n=2p. En s'inspirant de 2.c démontrer qu'il existe un
> unique entier naturel a tel que a²+9 soit une puissance de 5.
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> Merci
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