Distance d'un point à un plan

[Anonyme]

Qui pourrait me donner la demonstration de l'expression de la distance d'un point à un plan
Merci beaucoup d'avance...

[cesar]

soit un plan d'équation a*x + b*y + c*z +h = 0

le vecteur V (a,b,c) est perpendiculaire au plan.
soit un point M (X,Y,Z) et P (X1,Y1,Z1) un point du plan.

le vecteur PM peut se decomposer en deux vecteurs PS + SM, avec SP parallele au plan et SM perpendiculaire au plan. le produit scalaire PM.V est égal SM.V, et SM.V/norme(V) = distance de M au plan.
PM.V = (X-X1)*a +(Y-Y1)*b + (Z-Z1)*c = X*a +Y*b + Z*c + h
le terme h provient du fait que P est un point du plan.
donc
Distance m au plan = (X*a +Y*b + Z*c + h )/(racine carre de (a*a + b*b + c*c))

[Anonyme]

Salut Cesar, merci beaucoup!! ms si tu es encore la , tu ne pourrais pas m'expliquer un peu, car j'ai l'impression que je ne comprend absolument plus rien d'un coup avant le bac c'est stressant!!
comment est-ce que le vect PM peut etre egal à PS+SP ca revient a un point , ou c Chasles???
et pour le suite aussi, je ne sais pas trop... stp, sois patient, je c que je peux etre lourde...

[tangente]

En fait César a fait une petite erreur de frappe il faut lire le vecteur PM peut se décomposer en PS+SM avec PS dans le plan et SM perpendiculaire au plan. Autrement dit S est le projeté orthogonal de M sur le plan
Voilà !

[cesar]

j'ai corrigé, mille excuses