Distance minimale dans un cube

[benekire2]

Bonjour,
J'ai un problème de distance minimale dans un cube, et je reste persuadé que des méthodes non analytiques existent ...
L'image du problème:

L'énoncé:
Le point M1 parcoure [D'B] de D' vers B a une vitesse constante. Le point M2 parcoure [BC'] de B vers C'
M1 et M2 partent au même moment et arrivent également au mêe moment.
Quelle est la distance minimale M1M2 ?

Alors en fait déjà je m'étais dit que
Donc que M2 allait fois plus vite que M1 et de là je pensais trouver une fonction f qui associe la longueur M1M2, mais je ne sais pas s'il y a mieux ?

Alors existe-il d'autres méthodes non analytiques ?

Merci beaucoup,

[Ericovitchi]

Méthode non analytique je ne vois pas.

Par contre pour éviter de prendre un repère AB,AD,AA',
écrire les équations paramétriques de la droite BD' en fonction de t. Ecrire les équations paramétriques de BC' en fonction de t aussi. Calculer la distance d(t)=M1M2 étudier la fonction et trouver son minimum. ce qui est lourd.

Il y a une astuce c'est de se trouver dans le plan BC'D'.
Le problème devient : j'ai un point M1 qui parcours l'hypoténuse d'un triangle rectangle et un autre un coté de l'angle aiguë. Ils arrivent ensemble, quelle est la distance minimale.

Je l'ai faite mais on ne trouve pas un position de M1 hyper évidente qui donnerait à penser quel qu'on peut trouver une démonstration géométrique (on trouve que le minimum a lieu quand les points est au 5/9 de leur trajectoire).

[benekire2]

Je vous livre ma méthode:

On note a compris entre 0 et 1, définie par :
et qui vérifie donc l'énoncé.

On a:



donc

pour minimiser qui est une longueur positive, on minimise

or

la valeur de a pour laquelle est minimisée est

Si quelqu'un peut simplement confirmer si c'est juste...
Merci beaucoup !!!!!

[benekire2]

Méthode non analytique je ne vois pas.

Par contre pour éviter de prendre un repère AB,AD,AA',
écrire les équations paramétriques de la droite BD' en fonction de t. Ecrire les équations paramétriques de BC' en fonction de t aussi. Calculer la distance d(t)=M1M2 étudier la fonction et trouver son minimum. ce qui est lourd.

Il y a une astuce c'est de se trouver dans le plan BC'D'.
Le problème devient : j'ai un point M1 qui parcours l'hypoténuse d'un triangle rectangle et un autre un coté de l'angle aiguë. Ils arrivent ensemble, quelle est la distance minimale.

Je l'ai faite mais on ne trouve pas un position de M1 hyper évidente qui donnerait à penser quel qu'on peut trouver une démonstration géométrique (on trouve que le minimum a lieu quand les points est au 5/9 de leur trajectoire).

Toi tu es toujours la :++:

Ben j'ai trouvé comme toi, enfin c'est une méthode analytique c'est peut être un peu fort, mais pour moi elle est pas vraiment géométrique cette démonstration,
elle est concise mais bon :triste:

Comme c'est un exo d'olympiade (a ce qu'on m'a dit) il doit y avoir une méthode plus élégante.

En fait j'ai posé le problème pour avoir une autre méthode, parce que la mienne me déplait ...

[Ericovitchi]

Ha oui bravo, vectoriellement c'est plus élégant qu'avec les équations des droites comme j'ai fait.

Et je te confirme que c'est juste. Regardes mon premier post, j'avais aussi trouvé 5/9.

[benekire2]

Ha oui bravo, vectoriellement c'est plus élégant qu'avec les équations des droites comme j'ai fait.

Et je te confirme que c'est juste. Regardes mon premier post, j'avais aussi trouvé 5/9.

Si tu dis que c'est élégant ... moi je pensais qu'il y avait quand même mieux ...

PS: à la base, dans ma solution je me trainais les racines tout le long ( comme dans le preimer post) et puis ensuite j'ai tout divisé pour avoir quelque chose de plus beau.

[Ben314]

A vous de trouver le texte qui va avec cette image et qui a malancontreusement disparu dans la neige accumulée...

[benekire2]

c'est pas plutôt racine de 2 pour la longueur totale ?

[Ben314]

c'est pas plutôt racine de 2 pour la longueur totale ?

Non, non (le texte l'expliquait trés bien, mais la neige...)