Distance entre cinq points et nombre d'or

[t.itou29]

Bonjour,
J'ai besoin d'aide pour un problème:
Considérons 5 points dans le plan situés à une distance d'au moins 1 l'un de l'autre. Prouver qu'il existe deux points situés à une distance d'au moins .
Je crois avoir une piste:
La distance entre les deux points les plus éloignés est minimale lorsque les cinq points forment un pentagone régulier. Or la diagonale d'un pentagone régalier est égale au nombre d'or :
Le problème c'est je ne vois pas comment démontrer que la distance est minimal pour un polygone régulier, existe-t-il un théorème ou sinon avez-vous une idée pour la démonstration ?
Merci

[LeJeu]

Bonjour,
Le problème c'est je ne vois pas comment démontrer que la distance est minimal pour un polygone régulier, existe-t-il un théorème ou sinon avez-vous une idée pour la démonstration ?
Merci

Je mets up cet exo , car j'aimerais bien aussi savoir comment faire !

[t.itou29]

Le problème provient du site:
https://www.awesomemath.org/assets/PDFs/MR_1_(2013)_problems.pdf
La date limite pour proposer une solution est le 15 mars et en général elle sont publiées un mois après, on aura donc la réponse si on la trouve pas d'ici là.

[LeJeu]

Le problème provient du site:
https://www.awesomemath.org/assets/PDFs/MR_1_(2013)_problems.pdf
La date limite pour proposer une solution est le 15 mars et en général elle sont publiées un mois après, on aura donc la réponse si on la trouve pas d'ici là.

ben itou ??? on aura les réponses ici même bien avant !