Difficultés sur un exercice de loi binomiale

[typypyp]

Bonjour à tous ! Je suis en première, filière S et j'ai un devoir maison de maths à rendre prochainement. Le problème, c'est que je bloque sur un exercice en apparence tout simple !
Voilà l'énoncé:

A l'occasion d'un contrôle de qualité d'un lot de postes de télévision, on prélève à la sortie de la chaîne de fabrication un échantillon de 5 postes. Trois d'entre eux sont défectueux. Peut-on raisonnablement en conclure que 60% des postes sont de mauvaise qualité ?

Bien sûr, après vérification auprès de mon professeur, il s'avère que dire "l'échantillon choisi n'est pas assez grand pour en tirer des conclusions" n'est pas une réponse qui lui convient, celui-ci attend un raisonnement mathématique.

J'ai trouvé un début de piste, mais je reste bloqué à une certaine étape...

Soit le nombre de téléviseurs défectueux.
suit la loi binomiale de paramètres



Soit
associe à p la probabilité que 3 postes sur 5 soit défectueux, étant la probabilité qu'un poste soit défectueux.
On cherche donc la valeur de telle que atteigne un maximum.
On dérivé et on a

Et là, c'est le drame. Je me retrouve avec un polynôme de degré 4, et je ne sais pas l'étudier...
J'ai bien essayé de remplacer avec , mais j'obtiens quelque chose de la forme :

Ce qui ne m'avance pas à grand chose.

Je reste donc bloqué là, à m'arracher les cheveux, donc je sollicite votre aide

Merci d'avance !

[Pseuda]

Bonjour,

Oups, je n'ai pas fait attention que c'était un exercice sur la loi binomiale (et non sur l'intervalle de fluctuation).

Ta démarche me paraît bonne : on cherche la proportion p de postes telle que P(X=3) soit maximum. Il te suffit donc dans le polynôme trouvé pour la dérivée, de factoriser par p², de reconnaître un polynôme du 2nd degré, factorisation, tableau de variation, etc... Mes excuses.

[typypyp]

Salut PSEUDA et merci pour la réponse rapide

C'est ce que je pensais faire au début, mais quand on calcule l'intervalle, on tombe sur , ce qui est quand même bien large comme intervalle. (même si notre valeur est dedans)
Du coup, peut-on dire que l'intervalle de fluctuation est trop large pour considérer que 60% des postes sont défectueux sur l'ensemble de la prod' ?

[Pseuda]

Rectification faite plus haut.

[zygomatique]

salut

Bien sûr, après vérification auprès de mon professeur, il s'avère que dire "l'échantillon choisi n'est pas assez grand pour en tirer des conclusions" n'est pas une réponse qui lui convient, celui-ci attend un raisonnement mathématique.

jamais je ne donnerais un tel exercice car la réponse au dessus est tout à fait valable ... et ça n'a aucun sens de calculer un intervalle de fluctuation avec un échantillon de cette taille ...

le pb n'est pas de fournir une réponse convenable le pb c'est de pouvoir faire des mathématiques ... et dans ce cas c'est impossible ....

PS : on peut toujours calculer un intervalle de fluctuation ... même avec un échantillon de taille 1 ... mais ça n'a aucun sens .... ni aucun intérêt ....

[typypyp]

Eh bien, je peux m'avancer mais je pense que c'est une sorte de problème ouvert où le prof' s'intéresse surtout à la prise d'inititiative et au raisonnement qu'au résultat lui-même.
Du moins c'est ce qui paraît logique au vu de la nature de l'énoncé...

[Pseuda]

Rectification faite plus haut.

[zygomatique]

ouais ... mais bof... tout de même ...

je suis curieux de savoir ce que le prof donnera comme corrigé ....

[Pseuda]

Bonjour,

Je suis curieuse aussi de voir le corrigé de cet exercice. Trouver p (proportion de postes défectueux) tel que la probabilité qu'il y ait 3 postes défectueux dans un échantillon de taille 5, soit maximum, n'est pas très satisfaisant.

L'idéal serait de trouver un intervalle I (centré en 3/5) tel que la probabilité d'y trouver p (la proportion de postes défectueux) soit supérieure ou égale à 95%, sachant que la fréquence trouvée pour un échantillon est de 3/5. Soit un intervalle de confiance.

Et on pourrait dire du coup que cet intervalle est trop large pour en tirer des conclusions.

[zygomatique]

oui tout à fait ...

ou alors effectivement l'intervalle de confiance avec cette taille d'échantillon étant [0,15 ; 1] (évidemment on corrige ce 1,04 en 1 puisqu'on parle de proportion) recouvre quasiment l'intervalle de définition de cette même proportion (à savoir [0, 1]) donc n'apporte aucune information sur cette proportion ...

[Pseuda]

Bonsoir,

L'intervalle de confiance [0,15 ; 1] est calculé avec l'intervalle de 2nde, lui-même issu de la loi normale. Mais l'intérêt de l'exercice serait de calculer cet intervalle avec la loi binomiale, et là, j'avoue que je ne vois pas très bien comment.
(sinon, ce serait juste une révision de 2nde qui ne concorde pas avec l'intitulé de la question "exercice de loi binomiale").

[zygomatique]

je suis bien d'accord avec toi ...

[Pseuda]

Bonjour,

Et donc, comme le calcul de l'intervalle de confiance connaissant la fréquence d'un échantillon n'est pas faisable à ce niveau (on tombe sur une loi continue pour la variable aléatoire proportion..., oups), on se rabat sur l'intervalle de fluctuation, que l'on calcule avec la loi binomiale en supposant que la proportion de postes défectueux est de 3/5, et c'est parti..., cela peut se faire avec la loi binomiale et le programme de 1ère S.

Finalement, le calcul de l'intervalle de confiance est plus utile (pour les sondages) que le calcul de l'intervalle de fluctuation (on émet une hypothèse, et elle est vérifiée ou non...), mais beaucoup plus compliqué ? On peut d'ailleurs émettre plein d'hypothèses successives pour finir par cerner l'intervalle de confiance. Il faut que je creuse quand j'aurai le temps.