Différence entre fonction et application

[Darkwolftech]

Bonjour à tous,

J'ai une petite question que je me pose depuis pas mal de temps concernant la fonction .
En effet, il semblerait que cette fonction soit définie sur R+
Cependant , ! Avec une calculette graphique, on peut constater que sur R- la fonction n'est pas continue et est composée de singletons.

Lorsque j'ai posé cette question autour de moi, on m'a répondu qu'il fallait faire la différence entre "fonction" et "application" et que l'ensemble de définition d'une fonction était forcément un intervalle ou une réunion d'intervalles alors que l'ensemble "de départ" d'une application pouvait être n'importe quel ensemble, pas forcément composé d'intervalles

Ca parait logique et ça marche bien sur sauf que mon livre de maths de 1ere me définit une suite comme "une fonction définie sur N". Alors la, je suis perplexe ... :hein: N n'est ni un intervalle ni une réunion d'intervalles ! Ya une erreur quelque part ou je me plante complètement ?

Voila voila, merci beaucoup de votre réponse,
Lucas.

PS : Sur quoi est définie côté R- ???

[mcar0nd]

Salut, en ce qui concerne la définition sur , on pourrait étudier la fonction .

Pour la différence entre fonction et applications,
-une application associe à tout élément exactement un élément tel que
-une fonction associe à tout élément au plus un élément tel que .

En espérant t'avoir un peu éclairé.

[chan79]

On peut dire qu'une fonction de dans est une application de son domaine de définition dans .
Le domaine de définition peut être tout sous ensemble de .

[morpho]

Soit f: E -> F , ou E est l'ensemble de départ, F = l'ensemble d'arrivé.
1. Application ==> f est définie sur tout E
2. Fonction ==> f n'est pas définie sur tout E.

exp:
f: R -> R
x -> f(x) = x² application (de R sur R)
x -> f(x) = 1/x fonction (de R sur R)

f: I -> R avec I=]-infini,0[U]0,+infini[
x -> f(x) = 1/x application (de I sur R)

quand x réel , L'écriture : = xln(a) par définition ==> donc ca impose que a réel et a>0 donc impose x>0

quand x=-1 entier , L'écriture : = 1/(-1) = l'inverse de (-1) par définition ==> des def différentes....

on peut bien sur définir
f: N* ->R
k -> f(k)=k^k=k.ln(k) application

[Darkwolftech]

Ok ok,

Merci beaucoup pour toutes ces explications, j'ai bien compris qu'il faut dissocier un "ensemble de départ" et l'"ensemble de définition"
Merci de m'avoir expliqué la différence entre fonction et application :zen:

Maintenant, je peux reformuler ma seconde question : quels réels admettent une image sur par f(x) = ?

Merci d'avance de vos réponses,
Lucas

[chan79]

Ok ok,

Merci beaucoup pour toutes ces explications, j'ai bien compris qu'il faut dissocier un "ensemble de départ" et l'"ensemble de définition"
Merci de m'avoir expliqué la différence entre fonction et application :zen:

Maintenant, je peux reformuler ma seconde question : quels réels admettent une image sur par f(x) = ?

Merci d'avance de vos réponses,
Lucas

si >0 existe
mais on peut aussi calculer



c'est la racine cubique de 2,25

[Darkwolftech]

si >0 existe
mais on peut aussi calculer



c'est la racine cubique de 2,25

Ok, du coup, y'a t-il une "règle" ou une astuce qui me permettrait immédiatement de savoir si un réel négatif admet une image réelle par f(x) = , ou il faut le calculer "à la main" avec les racines n-ièmes ?

Merci d'avance pour votre réponse (et aussi pour votre persévérance, car je suis un peu obstiné aujourd'hui :marteau: )

Lucas

[morpho]

Ok, du coup, y'a t-il une "règle" ou une astuce qui me permettrait immédiatement de savoir si un réel négatif admet une image réelle par f(x) = , ou il faut le calculer "à la main" avec les racines n-ièmes ?

Merci d'avance pour votre réponse (et aussi pour votre persévérance, car je suis un peu obstiné aujourd'hui :marteau: )

Lucas

Il y a 2 fonctions différentes !!!!
qui est définie sur ]0,+infini[
réciproque de , pour g on peut calculer mais on ne peut pas calculer f(-2)

à votre avis quand on écrit c'est la fonction f ou g ????


" un réel négatif admet une image réelle par f(x) " ===> ça veut rien dire !!! vu que Df = ]0,+infini[
un nombre négative ne passe jamais par f !!!!! :marteau:

[chombier]

Pour moi x^x est défini
- si x est strictement positif
- si x est strictement négatif, rationnel, et, quand on l'ecrit x=p/q avec p et q premiers entre eux, si q est impair

(-pi)^(-pi) n'existe pas

(-7/3)^(-7/3) existe

(-7/6)^(-7/6) n'existe pas

C'est donc un ensemble de définition assez bizarre !! C'est la première fois que je me pose cette question, j'espere ne pas dire de bêtise !

Pour finir, 0^0 n'existe pas, bien qu'on puisse dans certains cas consider que cela vaille 1, pour que x^0 soit continue sur R, par exemple, et pour se permettre d'ecrire 3x^2+7x^1-2x^0 = 3x^2+7x-2

[chan79]

Si x est un nombre rationnel négatif et si son écriture en fraction simplifiée est avec p et q strictement positifs et q impair:





par exemple



soit 0,90944432....

Si q est pair, cela ne marche pas (on ne peut pas définir l'écriture)

sinon existe mais pas

grillé .... :zen:

[Darkwolftech]

Pour moi x^x est défini
- si x est strictement positif
- si x est strictement négatif, rationnel, et, quand on l'ecrit x=p/q avec p et q premiers entre eux, si q est impair

Si q est pair, cela ne marche pas (on ne peut pas définir l'écriture)
sinon existe mais pas

Oui merci beaucoup c'est ça que je cherchais !!

C'est marrant c'est ensemble bizarre :we:

Merci à tous,
Lucas

[Darkwolftech]

Je voulais bien sur dire cet ensemble

[chombier]

Oui, cela nous amène à parler d'un ensemble dont j'ignore à peu près tout des propriétés :

Celui des fractions dont le dénominateur est impair. Appellons le X.

X est infini dénombrable, inclus dans Q, dense dans Q.

X est stable pour l'addition, la multiplication, la soustraction mais pas pour la division :

(1/3) / (4/7) = 7/12 ; et 7/12 n'est pas dans X.

Tous les nombres ne possèdent pas d'inverse dans X, 3/7 a un inverse mais 4/7 n'en a pas.

(X, +) est un groupe commutatif, mais pas (X*, *)

(X, +, *) est un anneau commutatif, ce n'est pas un corps.

Je n'ai pas d'autres idées pour en savoir plus, à vous les studios :)

[chombier]

On peut aussi se poser la question de savoir, a propos de la fonction f(x,y)=x^y (on a a priori répondu sur ce qu'était son ensemble de définition), dans quels cas nos formules habituelles et rassurantes fonctionnent.

Par exemple (a^b)^c = a^(bc) ne fonctionne pas à tous les coups !

Par exemple (-3^2)^(1/2)=9^1/2=3 n'est pas égal à -3^(2 x 1/2) = -3

Cette formule ne marche bien que si a est strictement positif, ou si b et c sont entiers.

On voit que les puissances, ce n'est pas si simple !