Différence des images d'une meme parabole

[yann06]

Bonsoir

Pouvez vous m'aidez à terminer cette démonstration ??
on prend 2 points x et x'
ainsi que leurs images correspondantes f(x) et f(x')






en rappelant la définition d'une fonction décroissante : dire qu'une fonction est décroissante sur un intervalle ,c'est dire que f est décroissante sur un intervalle , c'est dire que pour tout réel a et pour tout réel b dans cet intervalle , f(a) et f(b) sont rangés dans l'ordre inverse de a et de b

si (x- x') est positif alors dans ce cas f(x) - f(x') va dépendre du signe de l'expression entre crochets
lors de cette démonstration, on pose x' > x ce qui équivaut à x' - x > 0
pour étudier l'expression entre crochets
pour le signe de on a donc 2 cas

si x et x' sont dans l'intervalle
et
on additionne les 2 égalités (comme vous m'avez dit de faire )
soit
soit
soit

si x et x' sont dans l'intervalle on a alors
soit
soit

arrivé ici , c'est déjà plus compliqué

[Lostounet]

Bonjour Yann,

À vrai dire je ne vois pas trop ce que tu cherches à faire: pourrais-tu donner explicitement l'objectif de ta démonstration?

Tu sembles partir de deux réels x et x' distincts et tu calcules leurs images puis la différence des images.

Le problème auquel tu t'es heurté, c'est le fait que la parabole change de monotonie (elle est par exemple décroissante puis croissante si a>0). De ce fait si x<x' et sont situés à gauche de -b/2a avec tjrs a>0 alors bien entendu f(x)>f(x'). Le cas où ils sont tous les deux à droite de -b/2a se traite de manière analogue.

Le cas difficile est lorsque nous avons x < -b/2a < x' où nous ne pouvons pas trancher directement (du moins pas sans introduire un objet supplémentaire ou en effectuant un changement de variable).

Donc voilà pourrais tu préciser ta demande ? Ainsi que les outils à ta disposition? (Si tu sais dériver c'est déjà bien)

[yann06]

Bonsoir Lostounet

merci de m'avoir répondu

------>je précise que je n'ai pas vu la dérivée
------->l'objectif de la démonstration est d'étudier le sens de variation de la parabole

si a > 0 , on a une parabole qui est orientée vers le haut
si a < 0 alors on a une parabole qui sera orientée vers le bas
la parabole sera croissante sur l'intervalle et la parabole sera décroissante sur l'intervalle

si j'étudie le signe de la différence de leurs images
soit et
je résume le calcul précédent



soit

soit

je vais prendre 2 antécédents que je nomme x et x'

donc il va y avoir 2 cas (enfin 3 cas , si on considère que

je distingue les 2 premiers cas :

1 ) si x et x' sont dans l'intervalle

il y a 2 sous cas si x > x'
et si x < x'
2) si x et x' sont dans l'intervalle

il y a également 2 sous cas
si x > x'
et si x < x'


en sachant que le signe de a sera (-a)

[Lostounet]

La méthode qui consiste à considérer x < x' et de calculer f(x) et f(x') pour les comparer a ses limites. Je pense que tu t'en es rendu compte ! C'est assez laborieux ce que tu fais

il y a également 2 sous cas
si x > x'
et si x < x'

Ben non, vu qu'on suppose par exemple x < x' (du début à la fin).

Personnellement, pour trouver les variations de la parabole, moi je pars des variations de la fonction carré: la fonction carré est décroissante sur et croissante sur.
Cela permet de déduire les variations de par exemple la fonction: k s'annule en x = 2
et elle a exactement les mêmes variations que la fonction carré:
Elle est décroissante sur et croissante sur.


Si je veux les variations de la fonction , les variations sont inversées (car multiplier par (-2) une fonction croissante, elle devient décroissante et vise-versa), donc
L est croissante sur et décroissante sur.

Si je veux étudier les variations de L(x) + 10 par exemple, je n'ai qu'à ajouter 10 à toutes les images de tous les x: les variations sont exactement les mêmes

Maintenant voici le cas général: Soit

On met f sous la forme canonique:
est décroissante sur -l'infini; -b/2a puis croissante sur -b/2a; + l'infini

Puis on multiplie par la constate a (si a est positive, les variations sont les mêmes, si elle est négative elle inverse les variations)

Puis on ajoute Beta (quel que soit beta, les variations sont inchangées !)

[yann06]

Bonsoir loustounet

merci de m'avoir répondu

je pars de l'hypothèse x < x' je vais prendre des valeurs négatives , je n'ai pas la possibilité de faire un graphe avec l'ordinateur , donc je vais décrire mon schéma
si je vais prendre 2 antécédents négatifs ,et comme x < x' , je vais représenter x ' puis x sur l'axe des abscisses (on est dans l'ordre -4; -3 ; -2 ; -1 ; 0)
je vais tracer avec des pointillés l'image de x' , c'est à dire f(x') sur l'axe des ordonnées
je vais tracer l'image de x qui sera f(x) sur l'axe des ordonnées
sur mon dessin , je vais avoir sur l'axe des ordonnées f(x' ) puis f(x) donc f(x) > f(x')

x' > x et f(x) > f(x') soit f(x) - f(x') > 0 les images sont rangées dans l'ordre inverse des antécédents donc la fonction est décroissante
maintenant je vais prendre des valeurs positives pour x et x'
je pars de l'hypothèse x < x' , je vais prendre 2 antécédents positifs si x < x'
------> je vais représenter x en premier sur l'axe des abscisses puis x' (étant donné qu'on est dans l'ordre 0,1,2,3 ,4 etc...)
je vais tracer avec des pointillés l'image de x , c'est à dire f(x) sur l'axe des ordonnées
je vais tracer l'image de x' qui sera f(x') sur l'axe des ordonnées

je ne sais pas si mon raisonnement est OK ??
et comme f(x) est en dessous de f(x') sur l'axe des ordonnées , on a donc f(x') > f(x)
x' > x et f(x') > f(x) soit f(x') - f(x) > 0 les images sont dans le meme ordre que les antécédents donc la fonction est strictement croissante

[Lostounet]

Le fond de la méthode je suis pas contre ...
Mais par contre je comprends pas pourquoi tu prends des antécédents de même signe x et x' tel que x<x'
On peut avoir f(x) = (x + 3)^2 avec x = -2 et x' = 5 (donc pas de même signe) avec f(x) < f(x')

Bref, je te propose de relire mon post précédent en détail et tu te rendras compte qu'il faut que tu abandonnes ta méthode qui est trop laborieuse, trop de cas à distinguer.
"a<b => f(a) < f(b)" n'est pas toujours la meilleure méthode à adopter (exemple ici, puisque f change de monotonie)

[yann06]

Bonsoir,

dans la démonstration , on avait les 2 images d'une parabole
c'est à dire



on arrivait à ce résultat
on étudie le signe de leur différence
si x' > x alors x' - x > 0 et le terme x' - x n'intervient pas dans le signe de f(x) - f(x')

maintenant , j'en viens à (ton/ votre ) exemple de la racine carrée
la forme générale d'une fonction de second degré est
pour la réduire à il faut prendre a = 1 et b = c = 1

si je prends 2 antécédents x et x' et que je calcule la différence des 2 images






et arrivé ici, il faut étudier le signe de chaque facteur ?????

[Lostounet]

Salut,
Tu n'as pas compris ma méthode: je ne faisais que te donner des exemples.

La méthode traite ax^2+bx + c quels que soient a, b, c: on met sous la forme canonique et on lit les variations.
A aucun moment il ne faut faire f(x) - f(x') !!!
Je te conseille d'oublier cette méthode complètement (du moins sur cette preuve!)

[yann06]

salut

je reviens sur (ton /votre) message précédent
--> Mais par contre , je ne comprends pas pourquoi tu prends des antécédents de meme signe x et x'

voila , ce que je fais : je me base par rapport à l'axe des ordonnées et pas par rapport à l'axe de symétrie de la parabole
alors , c'est peut être une erreur de ma part !!

j'ai tracé ma parabole qui est orientée vers le haut , avec la partie décroissante qui est du coté gauche de l'axe des ordonnées
je prends des antécédents de meme signe x et x' tel que x < x' et je les prends du coté gauche de l'axe des ordonnées
en fait il faut que et

[yann06]

salut ,

on met sous forme canonique









`

voila , la forme canonique

[Lostounet]

Presque, mais c'est x dans la parenthèse et pas x^2.

Ensuite tu dresses le tableau de variations de (x + b/2a)^2
Puis celui de a(x + b/2a)^2

Puis celui de a(x + b/2a)^2 + beta

[yann06]

oui effectivement est le début de développement de l'identité remarquable

il s'agit de

ensuite le tableau de variation de

[yann06]

ensuite le tableau de variation de avec le a en facteur , ça devient plus dure

tout ce que j'ai compris , c'est que (x + \frac{b}{2a}) s'annule avec la valeur qui est le sommet de la parabole
mais après , je n'arrive pas à suivre

[Lostounet]

Tu as bien fait le tableau,

Si a est un nombre positif, a(x + b/2a)^2 a les mêmes variations que (x + b/2a)^2 !
Si a < 0 a(x + b/(2a))^2 a les variations contraires (c'est à dire croissant puis décroissant)

[yann06]

salut

si a est un nombre positif alors a les memes variations que

et si a < 0 alors a les variations contraires

disons que je vais mettre ça sur l'heure tardive , en fait je ne comprends plus

[Lostounet]

Prends un exemple simple:

f(x) = (x + 1)^2

Quelles sont ses variations?

Si on prend a = -3 donc a<0, quelle est l'allure de la courbe de la fonction g(x) = -3(x+1)^2 ?
Si on prend a= +3 donc a>0, quelle est l'allure de la courbe de la fonction h(x) = 3(x+1)^2 ?

[yann06]

Bonsoir Lostounet

Je viens de prendre votre message avec un peu de retard

j'en profite pour vous dire merci pour le temps que vous avez passé avec moi

pour répondre à vos questions
j 'ai tracé

Screen Shot 2016-12-29 at 20.10.36.png

et j'ai tracé

Screen Shot 2016-12-29 at 20.11.36.png

multiplier par - 3 , cela inverse les variations de la fonction

[Lostounet]

Voilà ! Je pense qu'avec ces images en tête, tu peux revenir sur mes précédents messages pour comprendre ma preuve avec la forme canonique?

[yann06]

Bonsoir loustenet

soit la forme réduite

soit la forme canonique






on pose Beta = soit

j'étudie le signe de



je dresse le tableau de variation de



puis je dresse le tableau de variation de

les variations sont les memes si a> 0



les variations sont inversées si a< 0

[Lostounet]

C'est exactement cela !
Il ne reste plus qu'à ajouter le nombre béta (mais ajouter un nombre ne change pas les variations !) Mais juste au lieu du 0 tu auras béta et tu as fini ta preuve: ce raisonnement s'appelle "variation des fonctions associées" qui consiste à utiliser des variations de fonctions de référence simples (ici la fonction carré et la fonction f(x) = ax selon le signe de a) pour déduire les variations de fonctions élaborées.

Elle est plus "efficace" que le calcul f(x) - f(x') mais moins efficace que la dérivation !