Diagonale d'un quadrilatère quelconque

[wb13]

D'accord merci encore.Mais tes 2 dernières lignes de caclculs je nes les comprends pas.Pourquoi passer de "p" à "D" ?

[mathelot]

D'accord merci encore.Mais tes 2 dernières lignes de caclculs je nes les comprends pas.Pourquoi passer de "p" à "D" ?

pour x,y donnés, on a deux "cotes" ,"z_P" du plan et "z" du point à tester.
Si z>z_P le point M(x,y,z) est situé au dessus du plan.

[wb13]

on cherche l'équation du plan (BCD) dans le repère i,-j,k
\vec{BC}(-1,3,-1),\vec{BD}(-5,4,-2)
M \in (BCD) ssi \exists t,t' \vec{BM}=t \vec{BC}+t'\vec{BD}
x-7=-t-5t'
y-2=3t+4t'
z-3=-t-2t'


ce qui donnerais: x-7= -(-2t'+z-3)-5.(y-1/2-3/4t)
x-7=2t'-z+3-5y+1/2+3/4t
x-7-2t'+z-3+5y-1/2-3/4t=0
x+5y+z-10,5-2t'-3/4t=0

Que faire vu que les t et t' reviendront en permance ?

[wb13]

Si z

[Pseuda]

on cherche l'équation du plan (BCD) dans le repère i,-j,k
\vec{BC}(-1,3,-1),\vec{BD}(-5,4,-2)
M \in (BCD) ssi \exists t,t' \vec{BM}=t \vec{BC}+t'\vec{BD}
x-7=-t-5t'
y-2=3t+4t'
z-3=-t-2t'


ce qui donnerais: x-7= -(-2t'+z-3)-5.(y-1/2-3/4t)
x-7=2t'-z+3-5y+1/2+3/4t
x-7-2t'+z-3+5y-1/2-3/4t=0
x+5y+z-10,5-2t'-3/4t=0

Que faire vu que les t et t' reviendront en permance ?

Tes équations sont bonnes, mais il y a une erreur ensuite quelque part.
Tu peux tourner comme ça en rond longtemps. Pour résoudre ce système d'inconnues t et t', connais-tu l'algorithme de Gauss ? Si tu ne le connais pas, le but est de chercher à éliminer les inconnues (pour qu'il t'en reste qu'une) par une combinaison linéaire des lignes du système.

Par exemple, en soustrayant la 1ère à la 3ème ligne de ton système, tu élimines t. Cherche aussi à éliminer t'. Tu dois aboutir à une condition sur x, y et z pour que le système ait une solution, qui est précisément l'équation du plan.

[Pseuda]

Si z<z_P le point M(x,y,z) est situé en dessous du plan.Et que faire dans ce cas ?

Dans ce cas, y a-t-il une solution avec ces points (on ne peut pas augmenter les souches, on ne peut que les réduire) ?

[wb13]

Non on ne peut pas augmenter les souches :)

[wb13]

Seul la souche 4 se trouve au dessus d'un plan donc je suppose que c'est la seule à devoir être recoupée ? Les autres souches trouvent sous les plans,que faire à ce moment là en sachant qu'on ne peut pas allonger les souches ?

[Pseuda]

Seul la souche 4 se trouve au dessus d'un plan donc je suppose que c'est la seule à devoir être recoupée ? Les autres souches trouvent sous les plans,que faire à ce moment là en sachant qu'on ne peut pas allonger les souches ?

C'est la souche 2 qui est au-dessus des autres ? Mais le toit est penché, et il peut y avoir d'autres solutions que celle-là. Comme dit Mathelot, il n'y a une solution avec un plan que si la souche doit être réduite (z trouvé par l'équation < z du 4ème point), et pas si elle doit être augmentée.

Dans tous les cas, il faut chercher l'équation des plans.

[wb13]

Non c'est la souche 4 dans le plan formé par les souches 1,2,3.J'ai cherché l'équation de tous les autres plants + verifier si la souche correspondante était plus haute et aucune n'etaient plus haute que les plans.donc:
souche 4 + haute (4) que le plan des souches 1,2,3 (3) => recouper 1/4
souche 1 - haute (11) que le plan des souches 2,3,4 (27/2)
souche 2 + haute (15) que le plan des souches 1,3,4 (14)=> recouper 1/15
souche 3 - haute(8) que le plan des souches 1,2,4 (15)
Ce que j'ai mit entre parenthèse correspond au "z".

Que conclure pour répondre au problème ? Que seul la souche 4 et la souche 2 doivent être recoupées ?

[Pseuda]

Non c'est la souche 4 dans le plan formé par les souches 1,2,3.J'ai cherché l'équation de tous les autres plants + verifier si la souche correspondante était plus haute et aucune n'etaient plus haute que les plans.donc:
souche 4 + haute (4) que le plan des souches 1,2,3 (3) => recouper 1/4
souche 1 - haute (11) que le plan des souches 2,3,4 (27/2)
souche 2 + haute (15) que le plan des souches 1,3,4 (14)=> recouper 1/15
souche 3 - haute(8) que le plan des souches 1,2,4 (15)
Ce que j'ai mit entre parenthèse correspond au "z".

Que conclure pour répondre au problème ? Que seul la souche 4 et la souche 2 doivent être recoupées ?

Ce sont effectivement les souches 2 et 4 qui sont plus hautes que le plan formées par les autres souches. Pour la souche 4, il faut bien recouper à 3/4 m, soit de 25 cm. Pour la souche 2, de mémoire il faut recouper 20cm.

Ta conclusion est la bonne.

[wb13]

Les 2 découpes doivent-elles être faites en même temps ou dois-je choisir l'une des 2 ?

[chan79]

Ce sont effectivement les souches 2 et 4 qui sont plus hautes que le plan formées par les autres souches. Pour la souche 4, il faut bien recouper à 3/4 m, soit de 25 cm. Pour la souche 2, de mémoire il faut recouper 20cm.
.

Salut
Si on abaisse la souche 2 de 20 cm, les points sont coplanaires:
souche1 (3;2;2)
souche2 (7;2;2.8)
souche3 (6;5;2)
souche4 (2;6;1)
l'équation du plan est -x+y+5z=9
volume=26.1 m³

[wb13]

Oui mais quelle découpe choisir entre celle de la la souche 4 ou celle de la souche 2 ?

[chan79]

Oui mais quelle découpe choisir entre celle de la la souche 4 ou celle de la souche 2 ?

En coupant la souche 4, le volume n'est que 25,875 m³.

[wb13]

Oui mais il n'est demandé nulle part d'opter pour la solution donnant le plus grand volume.

[mathafou]

Bonjour,

Oui mais quelle découpe choisir entre celle de la la souche 4 ou celle de la souche 2 ?

on peut illustrer tout ça en effectuant une construction purement géométrique du plan de coupe passant par ACD (les sommets des souches 1, 3, 4) qui coupe bien la souche 2 à 0.20 m de son sommet B (mesure effectuée par Geogebra) ce qui confirme la justesse de tous ces calculs.


on comprend alors immédiatement que les seuls plans de coupe possibles vont être obtenus en faisant pivoter ce plan autour de "l'axe" (AC)
et que directement sans calcul le plus "petit" de ces quadrilatères sera lorsque le plan sera le plus "horizontal" possible donc il faudra bien couper la souche 2

couper la souche 4 en Q (à 0.25m de son sommet) donnerait une diagonale BQ plus grande que DP

il reste à faire une figure ou un calcul de ce quadrilatère "en vraie grandeur", qui pour revenir à la question initiale du tout début est alors défini par ses côtés et ses diagonales (en longueur) qui est l'info manquante au tout début pour le définir.
et qui chacune peut être calculée par du simple Pythagore

au final il restera à chercher avec quelle orientation on peut "placer" un carré dessus, ou pas.

DP² = (7-2)² + (6-2)² + (2.8 - 1)² = 44.24
et le carré de la diagonale d'un carré de côté 4.5 est 2X4.5² = 40.5 < 44.5
donc on ne pourra pas placer la diagonale DP dans ce carré.

dernier espoir : c'est de couper plusieurs souches pour ramener le toit "plus horizontal" donc réduire la diagonale
(au pire horizontal à 1 m de haut avec une diagonale au carré = 31)
edit : 5² + 4² = 41 pas 31, donc même comme ça on ne peut pas

[chan79]

Oui mais il n'est demandé nulle part d'opter pour la solution donnant le plus grand volume.

Dans les critères d'évaluation de ton exo, il y a 30% pour l'analyse du problème.
Tu peux sans doute proposer différentes solutions en fonction des critères que tu peux choisir ( volume pour le bois, toiture plane ou pas, surface de toiture, hauteur minimale pour les souches ...)
Finalement, il y a du boulot ...
Par exemple, tu as un toit plat en enlevant 16 cm à B et 5 cm à D.
(équation du plan:-21x+21y+100z=179)
si a et b sont les hauteurs en mètres des souches 2 et 4, le toit sera plat si 5a+4b=18

Une petite formule, à tout hasard:
Pour un prisme droit tronqué (à base triangulaire), le volume est égal à l'aire de la base multipliée par la moyenne des 3 arêtes latérales.

[Pseuda]

Les 2 découpes doivent-elles être faites en même temps ou dois-je choisir l'une des 2 ?

Peux-tu faire les 2 en même temps ? Autrement dit, est-ce que tes points resteraient coplanaires ?