Devoir

[Lisa110304]

Bonjour j’ai un devoir à faire j’aimerais un peu d’aide svp.

[Lisa110304]

Jules décide d’arrêter de fumer.
Le premier jour il ne fume pas.
Les jours suivants:
S’il a fumé la vieille la probabilité qu’il fume le lendemain est de 3/4
S’il n’a pas fumé la vieille le probabilité qu’il ne fume pas le lendemain est de 2/3
Pour n un entier non nul, on note Fn l’évènement « Jules fume le n*eme jour » et pn=p(Fn)
On définit la suite Pn de terme initial p1=p(F1)=0
1) calculer p2 et p3 a l’aide d’un arbre de probabilité
2) montrer que Pn+1=5/12pn+1/3
3) on pose: un=pn -4/7
a) montrer que la suite un est géométrique
b) en déduire un en fonction de n et puis Pn en fonction de n

[Lisa110304]

On admet le résultat suivant: q €(appartient)]-1;1[=>lim q**n=0. n+infini
C’est à dire que si q €(appartient)]-1;1[ alors la suite q**n tend vers 0 quand n tends vers +l’infini
4)a)calculer la limite de la suite Pn
b)que peut on dire de la probabilité que Jules fumé un jour donne au bout d’un temps suffisamment long?
5)a)écrire un programme python contenant une fonction appelé seuil qui aura une seule variable noté p.
Cette fonction seuil devra renvoyer le rend du premier jour où la probabilité que Jules fume soit d’au moins p.
b)A l’aide de ce programme
donner le rends du premier jour où la probabilité que Jules soit d’au moins 0,57.

[Roc]

Bonjour,
Tu peux commencer par dessiner un arbre de probabilité qui permet de donner une vue d'ensemble des événements associés à leurs probabilités :



Ici, à la place des événements A, on aura les événements Fn. A partir de l'énoncé, il est possible de déterminer les probabilités de chaque événements. Commence par trouver la probabilité P(F2) sachant qu'il n'a pas fumé le premier jour.

[Roc]

Pour la première question, tu devrais avoir l'arbre de probabilité suivant :



Comme dit dans l'énoncé, la probabilité P1 de l'événement F1 : "Jules fume le 1er jour" est nulle. C'est logique vu que d'après l'énoncé, Jules ne fume pas le premier jour. On connaît les probabilités que Jules fume ou non après avoir fumé le jour d'avant ou non.
Donc, il est possible de trouver P(F2) et également P(F2 barre) = 1- P(F2) (étant l'événement contraire). On fait pareil pour trouver P(F3).
ll est important de remarquer que pour calculer la probabilité P3 , on est obligé de passer par la probabilité P2. Par exemple pour la première branche : P3 = P(F2) × P(F3) et pour la seconde : P3 = P(F2 barre) × P(F3), il faudra donc additionner ces deux probabilités pour avoir la probabilité totale P3.

A la question 2, on demande à priori de démontrer une expression de P(n+1) par récurrence.
Pour la question 3) a. il est assez simple de prouver qu'une suite est géométrique : une des méthodes consiste à calculer U(n+1)/Un, si le résultat du calcul donne un nombre q alors Un est donc bien une suite géométrique de raison q.
A la question suivante, on connaît l'expression explicite d'une suite géométrique : Un = Up × (q)^(n-p) avec q la raison, p le premier terme (ici p = 1). Maintenant que tu connais Un, il est simple de trouver une expression Pn car d'après l'énoncé : Un = Pn - 4/7

[Lisa110304]

Pour la question 1) j’ai réussi j’ai alors trouvé p2=1/3 et p3=17/36

[Lisa110304]

Je bloque pour la question 2)

[Roc]

Bonjour,

Pour la question 2, il est possible de trouver l'expression de P(n+1) en s'aidant de l'énoncé et de l'arbre de probabilité. On rappelle que :

- P(n+1) = P("Jules fume le (n+1)e jour")
- Pn = P("Jules fume le nième jour")

Or, il est dit que si Jules fume le nième jour : la probabilité qu'il fume le (n+1)e jour est de 3/4. Si ce n'est pas le cas alors : la probabilité est de 1/3.

Déjà pour commencer, tu peux exprimer P3 en fonction de P2 à l'aide de l'arbre de probabilité. Tu devrais trouver : P3 = 3/4 × (P2) + (1 - P2) × 1/3. On peut le comprendre en se basant sur l'arbre de probabilité suivant :

[Lisa110304]

J’ai compris mais j’ai du mal à eprimer p3 en fonction de p2

[Roc]

D'accord, regarde l'arbre de probabilité : P3 = P(F3) de la première branche + P(F3) de l'autre branche.

Or : P(F3) de la première branche = P(F2) × 3/4 et P(F3) de l'autre branche = (1 - P(F2) ) × 1/3

Du coup : P3 = P(F2) × 3/4 + (1 - P(F2) ) × 1/3

[Lisa110304]

J’ai compris mais j’lai les valeurs de F2

[Lisa110304]

Comment puis je vous envoyer mon arbre ?

[Lisa110304]

Après avoir exprimé ceci comment démontrer la suite

[Roc]

Pour poster des images, je passe par google photo : https://photos.google.com/, puis en copiant l'adresse de l'image, je l'insère dans le texte.

[Lisa110304]

https://photos.google.com/photo/AF1QipP ... qUEIezm3V9

[Lisa110304]

Mon arbre est juste pour commencer ?

[Roc]

[Roc]

J’ai compris mais j’lai les valeurs de F2

Oui justement, c'est pour avoir le lien entre P(n+1) et Pn. Si tu connais le lien entre P3 et P2 alors tu connais la relation entre P(n+1) et Pn car d'après l'énoncé les probabilités sont toujours les mêmes d'un jour à l'autre.

[Lisa110304]

Excusez moi mais ce n’est pas clair je n’arrive pas à comprendre

[Lisa110304]

J’ai compris du coup