Devoir sur les suites

[Jacques]

Bonsoir, Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît pour cette exercice concernant le chapitre des suites. 

Voici l'énoncé :

Soit la suite définie sur par et pour tout entier naturel .

Etape 1 : Conjecture
Représenter graphiquement la courbe représentative de la fonction définie sur par et la droite d'équation .

1) Construire les premiers termes de la suite sur l'axe des abscisses.
2) Conjecturer un minorant de la suite, et son sens de variation.

Etape 2 : Démonstration
1) Démontrer par récurrence que la suite est minorée par .
2) On souhaite maintenant démontrer que la suite est décroissante.

Méthode 1 : Avec une suite auxiliaire
Soit la suite définie sur par .
a) Montré que la suite est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b) Déterminer l'expression de en fonction de .
En déduire le sens de variation de la suite .

Méthode 2 : Par étude du signe de
a) Etudier le signe de pour tout entier naturel .
b) Conclure

Méthode 3 : Par récurrence
a) Donner le sens de variation de sur .
b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel ,
c) Conclure.

Méthode 4 : Par comparaison de et
a) Montré que sur .
b) En déduire que pour tout entier naturel , et conclure.

Voici mes réponses :

Etape 1 :
1) Voici le lien ou j'ai hébergé l'image représentent le graphique : https://goopics.net/i/Q99N4
2) j'aurai besoin d'aide s'il vous plaît.

Etape 2 :
1) Soit la proposition ""
Initialisation : , , . Donc est vrai
Hérédité : Soit un entier naturel tel que . On suppose que est vrai ( est vrai).
Démontrons le rang k+1 ()
Par hypothèse de récurrence on a :
=> car la fonction f est strictement croissant sur .
<=>
est vraie.
Conclusion est vrai, est vrai => est vrai. Donc est vrai pour tout entier naturel .

2) a) On sait que alors,
On a donc,
.

La suite est une suite géométrique de raison et de premier terme 4.
b) donc

Méthode 2 :
a)
Donc,, pour tout appartenant à
Donc,
Mais je ne suis pas sur du résultat obtenu.
b) Donc ,, la suite est alors croissante.

Méthode 3 :
a)
b) Soit la proposition ""
Initialisation : et , donc soit, donc est vrai.
Hérédité : Soit un entier naturel tel que . On suppose que est vrai ( est vrai).
Démontrons le rang k+1 ()
Par hypothèse de récurrence on a :
=> car la fonction f est strictement croissant sur .
<=>
est vraie.
c) Conclusion est vrai, est vrai => est vrai. Donc est vrai pour tout entier naturel .

Méthode 4 :
a) j'aurai besoin d'aide s'il vous plaît.
b) j'aurai besoin d'aide s'il vous plaît.

[pascal16]

2a) Un+1-Un = -1/2Un +2 = (4-Un)/2

Un>4 implique (4-Un)/2 <0

d'où l’intérêt de d'abord minorer par 4

[pascal16]

méthode 4a.
f(x)-x= -1/2 x +2
-1/2 x +2 fonction affine, strictement négative pour x>4

le signe de Un+1-Un est le signe de f(Un)-Un

[Jacques]

2a) Un+1-Un = -1/2Un +2 = (4-Un)/2

Un>4 implique (4-Un)/2 <0

d'où l’intérêt de d'abord minorer par 4

Bonsoir,
J'ai pas vraiment compris comment vous avez fait pour arriver à cette étape.
Le "'Un" il est passé où ?

méthode 4a.
f(x)-x= -1/2 x +2
-1/2 x +2 fonction affine, strictement négative pour x>4

le signe de Un+1-Un est le signe de f(Un)-Un

Sinon pour la 4)a) le "-x" il est passé où ?

[pascal16]

+(1/2) Un - Un = - (1/2) Un

[Jacques]

D'accord, du coup pour le "x"

[pascal16]

f(x)= +1/2 x +2
f(x)-x= +1/2 x +2-x
f(x)-x= -1/2 x +2

[Jacques]

f(x)= +1/2 x +2
f(x)-x= +1/2 x +2-x
f(x)-x= -1/2 x +2

J'ai pas compris ces étapes.

[Jacques]

Sinon pour la Méthode 2 a)
J'ai bon ?

[pascal16]

0.5 - 1 = -0.5

[pascal16]

Je reprends les bases pour la méthodes 2
rappel, on commence par regarder ce que vaut U :
uo=8
u1=6
u2=5
u3=4.5
U semble décroissante

Je te laisse démonter que Un>4 implique Un+1>4
or Uo=8 >4 donc pour tout n, Un >4

Un+1-Un = -(1/2)Un + 2
Comme Un >4, que peut-on dire sur le signe de Un+1-Un ?

[Jacques]

Je l'ai déjà démontré.
On peut dire que Un+1-Un > 0 donc Un+1<Un
La suite (Un) semble décroissant.

[pascal16]

On peut dire que Un+1-Un < 0 donc Un+1<Un
La suite (Un) semble est décroissante.

[Jacques]

Pour le calcule du Un+1-Un.
Pourriez-vous s'il vous plaît refaire la résolution en détaillant les calcules, car je n'arrive pas à comprendre comment on aboutit à (4+Un)/2

[pascal16]

méthode 4 :
pour x >=4
f(x)-x= -1/2 x +2
donc f(x)-x <= 0
f(x) <= x
c'est vrai POUR TOUT REEL <= 4

c'est donc vrai en particulier pour n'importe quel terme Un de la suite car Un>=4 est déjà démontré
donc, pour tout n, f(Un) <= Un
soit Un+1 <= Un et c'est vrai pour tout n
Donc Un est ...

[Jacques]

Donc Un est strictement décroissant.

[pascal16]

Un+1-Un = -(1/2)Un + 2
c'est aussi
Un+1-Un = -Un/2 + 2
je met tout sur 2
Un+1-Un = -Un/2 + 4/2
je rassemble les fraction car elle ont même dénominateur
Un+1-Un = (-Un + 4)/2
Un+1-Un = (4-Un )/2

toutes ces écritures sont identiques, on peut regarder le signe avec n'importe quelle façon d'écrire Un+1-Un.
On peut garder la première Un+1-Un = -(1/2)Un + 2 si on veut, ça n'a rien d'obligatoire


PS : Un décroissante et minorée par 4, converge vers une limite L >=4.
Ce n'est pas obligatoirement 4 la limite dans le cas général, mais ici, c'est 4 la limite (si tu as vu le théorème du point fixe, tu peux le prouver ou passer par l'état stable de la science nat).

[Jacques]

D'accord merci.
Non je n'ai pas encore vue le théorème du point fixe.
Je n'ai aussi pas compris la Méthode 3)a)

[pascal16]

la 3a est un méthode un peu différente et ta résolution est bonne, c'est le pourquoi que tu n'a pas compris ?

( f fonction affine avec coefficient directeur >0, est strictement croissante)

initialisation :
uo=8
u1=6
f strictement croissante conserve l'ordre au sens strict donc
f(u1) <f( u0)
or f(u1) =u2 et f( u0)=u1
donc
u2 < u1

on a donc prouvé une inégalité avec des indices un cran plus grand

Dans la résolution proposée, on remplace tout ça par des indices pour faire une vraie récurrence
Uk+1<Uk implique Uk+2 < Uk+1

[Jacques]

Celle là, j'ai compris.
Je pense que vous avez confondu les questions.
C'est à propos du a)
Méthode 3 : Par récurrence
a) Donner le sens de variation de sur .