Devoir sur les inéquations

[PaulDurand]

Bonjour à toutes et à tous,

Je suis élève d'un lycée en seconde.

Je rencontre un problème de compréhension avec un devoir de math, pourriez-vous m'aider ?

Voici l'énoncé du problème :

X désigne un nombre réel tel que 0<=x<=1
Justifier que x^2<=x
En déduire que x^3<=x​

Je n'arrive pas à comprendre le "Justifier que x^2<=x" ni ce que je dois faire !

Merci pour votre aide et vos réponses.

Paul

[hdci]

Bonjour

"Justifier" cela veut dire "expliquer pourquoi". Les choses peuvent paraître évidentes, mais seule une démonstration permet de prouver (ainsi, la Terre semble "plate" : quand on est au bord de la mer, il semble "évident" que l'horizon est bien droit, et pourtant ce n'est pas vrai ; c'est pour cela qu'il faut justifier même quans cela semble évident).

Pour la première question, vous avez une hypothèse :

Il faut alors démontrer que

Vous ne pouvez pas le justifier par des exemples (on a bien 0,5<=1 et 0,5²=0,25<=0,5, mais ceci n'est qu'un exemple). Vous pouvez donc le vérifier soit par des exemple "en prenant tous les nombres entre 0 et 1" (mais comme il y en a une grosse infinité, cela va prendre un peu de temps...), soit en appliquant des résultats de cours.

Résultat du cours : quand on a une inégalité, qu'est-ce qui se passe si je multiplie chaque membre par le même nombre ? Est-ce que l'inégalité change ? Reste identique ? Vérifier cela dans votre cours (il y a un piège).

Ensuite, par quoi faut-il multiplier chaque membre de pour obtenir ? Vérifiez alors que cette multiplication entre bien dans le cas précédent où l'inégalité reste identique.

[PaulDurand]

Merci beaucoup pour votre réponse.

Dans mon cours concernant la multiplication des inégalités je trouve les 2 cas de figures ci-dessous :

On peut multiplier ou diviser les deux membres d'une inégalité.

1) par un même nombre strictement positif en conservant le sens de l'inégalité :
pour tous réels a, b, c : si a < b et si c > 0, alors ac < bc et a/c < b/c

2) par un même nombre strictement négatif en changeant le sens de l'inégalité :
pour tous réels a, b, c : si a < b et si c < 0, alors ac > bc et a/c > b/c

Dans l'hypothèse 0<=x<=1 à quoi correspond le a, b et c ? Pour moi c'est assez abstrait et j'ai du mal à comprendre... à visualiser...

Est-ce : 0<=x <=> a <= b et x<=1 <=> c <= 0

Merci pour votre aide.

[hdci]

Pour votre cours c'est bien cela que j'attendais.

Mais avant de passer à "à quoi correspond a, b, c", répondez à la seconde question :

Pour passer de à , par quoi multipliez-vous les deux membres ?

Par la suite pour savoir si l'inégalité est bien conservée, vous devrez répondre à cette troisième question : la multiplication trouvée précédemment se fait-elle avec un nombre positif ou un nombre négatif ?

On verra après le lien avec a, b et c. si vous voulez bien

[PaulDurand]

Pour passer de à , par quoi multipliez-vous les deux membres ?

Je multiplie par :
x x 1

[hdci]

C'est cela.
Et peut-on dire que est positif ? (Indispensable pour pouvoir conserver le sens de l'inégalité)

[PaulDurand]

Et peut-on dire que est positif ? (Indispensable pour pouvoir conserver le sens de l'inégalité)

Oui est positif.

J'ai trouvé le de tête parce que c'était simple à trouver mais je ne m'explique pas comment faire dans un autre cas (si c'était plus complexe)

[hdci]

Et peut-on dire que est positif ? (Indispensable pour pouvoir conserver le sens de l'inégalité)

Oui est positif.

C'est cela mais attention, il faut être plus rigoureux : il faut bien rappeler l'hypothèse (ça, c'est pour montrer qu'on n'est pas en train de "tricher en affirmant quelque chose qu'on suppose sans savoir pourquoi"...)

J'ai trouvé le de tête parce que c'était simple à trouver mais je ne m'explique pas comment faire dans un autre cas (si c'était plus complexe)

Le principal ici est de le "voir". C'est avec l'habitude que vous aurez de plus en plus de facilité pour "voir" ce qu'il faut faire (d'où l'intérêt de faire plein de petits exercices et pas seulement ceux que donne le prof).
D'ailleurs, la question suivante est de démontrer que , pour cela vous allez devoir traiter en deux étapes, je vous laisse réfléchir un peu (l'idée est de dire que si a est plus petit que b et si b est plus petit que c, alors a est plus petit que c)


Revenons-en aux différents a, b et c que vous aviez évoqué au départ.

1) par un même nombre strictement positif en conservant le sens de l'inégalité :
pour tous réels a, b, c : si a < b et si c > 0, alors ac < bc et a/c < b/c

2) par un même nombre strictement négatif en changeant le sens de l'inégalité :
pour tous réels a, b, c : si a < b et si c < 0, alors ac > bc et a/c > b/c

On utilise ici les lettres parce que c'est "vrai dans tous les cas", et qu'on n'a évidemment ni le temps ni la place d'écrire "tous les cas". Mais les lettres sont "muettes" en ce sens qu'on peut récrire la même chose en changeant tous les noms, tant qu'on conserve la cohérence. Par exemple, si je remplace a par x, b par y et c par z, j'obtiens

• si x<y et z>0 alors xz<yz
• si x<y et z<0 alors xz>yz

Ainsi si vous avez plus tard et que vous multipliez le tout par -3, vous pouvez remplacer dans la formule initiale a par r, b par 10 et c par -3, mais là vous pouvez directement affirmer que c<0, donc écrire directement

Ce qu'il faut surtout retenir, c'est cela : multiplier une inégalité (sous-entendu, les deux membres d'une inégalité) par un nombre strictement positif conserve l'inégalité, par un nombre strictement négatif change le sens de l'inégalité.

[PaulDurand]

Merci beaucoup pour votre longue réponse, je commence à comprendre certaines choses .

Mon cours me dit qu'une inégalité a 4 formes différentes : A < B, A <= B, A >= B et A > B

Si c'est bien cela, par quoi peut-on appeler notre 0<=<=1 ? Est-ce aussi une inégalité ?

Est-ce qu'on peut dire que 0<= (dans 0<=<=1) est égal à >=0 ? Et que donc dans notre 0<=<=1 on a 2 inégalités distinctes : >=0 et <=1, est-ce correct ? On peut donc en conclure que sera >= à 0 et <= à 1

[hdci]

Oui c'est exactement cela.

Quand on écrit a<b<c (ou a<=b<=c en inégalité large), on écrit en fait deux égalités, plus une troisième inégalité implicite (car si a<b et b<c alors a<c). Mais formellement, a<b<c signifie très précisément a<b et b<c.
On peut dire que c'est une "inégalité", mais formellement c'est une double inégalité.

Ensuite, dire a<b (a inférieur strictement à b) est identique à dire b>a (b strictement supérieur à a). Pourquoi utiliser l'un plutôt que l'autre ? C'est complètement lié au contexte ; il n'y a pas de règle (sauf à dire que si on change sans arrêt le sens à chaque ligne qu'on écrit, tout en voulant dire la même chose, cela devient confus)

[PaulDurand]

Merci pour votre réponse.

Grâce à vos explications, j'ai compris la chose suivante dans : si a < b et si c > 0, alors ac < bc et a/c < b/c, est-ce équivalent de dire : si a < b et si c est positif, alors ac < bc et a/c < b/c ?

Si j'ai < 10 et si je multiplie le tout par 3 (chiffre positif), j'obtient : < 30
MAIS
Si j'ai < 10 et si je multiplie le tout par -3 (chiffre négatif), j'obtient : > -30

Est-ce juste ?

[PaulDurand]

Merci pour votre réponse.

Grâce à vos explications, j'ai compris la chose suivante dans : si a < b et si c > 0, alors ac < bc et a/c < b/c, est-ce équivalent de dire : si a < b et si c est positif, alors ac < bc et a/c < b/c ?

Si j'ai < 10 et si je multiplie le tout par 3 (chiffre positif), j'obtient : < 30
MAIS
Si j'ai < 10 et si je multiplie le tout par -3 (chiffre négatif), j'obtient : > -30

Est-ce juste ?

[hdci]

Oui c'est bien cela.

[PaulDurand]

Comment expliquer maintenant que ?

On peut déduire de l'inégalité que (donc est positif) et que est >=0 et <=1.

Si l'on remplace par exemple dans le par 1 on obtient 1x1<=1 soit 1<=1 ce qui est correct comme résultat.

Si l'on remplace le par 0 on obtient 0x0<=0 soit 0<=0 ce qui est exact aussi.

Si l'on remplace le par 0.5 on obtient 0.5x0.5<=0.5 soit 0.25<=0.5 ce qui est exact aussi.

Est-ce suffisant comme démonstration que ? Ou faut-il procéder autrement ?

[hdci]

Je ne comprends pas bien votre question.
Vous aviez déjà répondu cela

Je multiplie par :
x x 1

Donc vous partez de qui est l'hypothèse, vous multipliez par que vous savez positif (car l'énoncé indiquait ), et cela donne qui est la conclusion.

Vous avez donc bien un raisonnement "hypothèse, donc conclusion".
Il manque juste une quantification : "pour tout x réel, si x est compris entre 0 et 1 alors x² est inférieur à x"

Cette phrase est vraie : si x est compris entre 0 et 1 vous avez démontré la conclusion, et si x n'est pas compris entre 0 et 1, "on s'en fiche" car on n'est plus dans l'hypothèse.
On peut dire la phrase autrement : "pour tout x réel compris entre 0 et 1, x² est plus petit que x".

Le fait de le "vérifier" pour 0, 1, 1/2, c'est peut-être juste pour se rassurer, mais cela ne sert à rien puisque vous avez démontré que c'est vrai "pour tout x compris entre 0 et 1".

[PaulDurand]

Merci pour votre réponse.

En effet il me manquait la façon de rédiger, quand je vous lit ("pour tout x réel, si x est compris entre 0 et 1 alors x² est inférieur à x") tout est clair et 100% compréhensible

Une question tout de même : pourquoi on part du comme hypothèse et non pas du ? Si je multiplie par j'obtient .

[hdci]

Une question tout de même : pourquoi on part du comme hypothèse et non pas du ? Si je multiplie par j'obtient .

Oui exactement.
L'énoncé ne vous demande que de montre , mais on aurait pu utiliser les deux inégalités ;



Ceci dit, l'inégalité de gauche est superflue : un carré est toujours positif.

[PaulDurand]

Merci pour toutes vos réponse et votre aide.