Devoir sur les inégalités : ex n° 46

[PaulDurand]

Mon cours s'arrête au signe d'un produit, signe d'un quotient et il dit :

Règle des signes:
Soit a et b deux réels différents de 0.
- si a et b ont le même signe, alors a x b et sont positifs.
- si a et b sont de signes contraires, alors a x b et sont négatifs.

Donc pour étudier le signe de cette expression j'étudie le signe du numérateur et du dénominateur pour tous réels différents de 0, soit :

1) puisque qu'un carré est toujours positif.

2) Concernant : si alors et si alors

Le numérateur est donc positif mais le dénominateur peut-être positif ou négatif. Partant de ce constat, comment savoir quel est le signe de l'expression ? Je pige pas

[PaulDurand]

Oups j'ai oublié en cours de route que je dois étudier le signe de l'expression pour donc x ne peut pas être > à 1 et x ne peut pas être < à 0 non plus.

Donc x est > 0 et inférieur à 1.

Si je prend comme exemple x = 0.5 alors 0.5 - 1 = -0.5 (donc résultat négatif), donc est négatif.

Donc le signe de est négatif. Est-ce correct ?

[hdci]

Non...

Si je prend comme exemple x = 0.5 alors 0.5 - 1 = -0.5 (donc résultat négatif), donc est négatif.

Vous raisonnez par un exemple. Or ce n'est pas possible, car vous ne traitez pas "tous les cas".

Ainsi : si je raisonne par l'exemple, je démontre que tous les français sont des femmes. En effet : par exemple, ma mère est une femme. Autre exemple, ma cousine est une femme. 3ème exemple, ma nièce est une femme.
Pensez-vous vraiment que j'ai démontré que tous les français sont des femmes ?

Vous devez impérativement avoir cela en tête : pour démontrer une généralité je n'ai pas le droit de prendre des exemples. Les exemples, c'est pour illustrer, mais pas pour démontrer.

Ici, vous devez démontrer que pour tout , vous avez .
Comment faire ? (utilisez et manipulez les inégalités : vous avez le droit d'ajouter ou de soustraire la même chose à chaque membre, vous avez le droit de multiplier ou de diviser chaque membre par le même nombre strictement positif, ou par le même nombre strictement négatif en inversant les inégalités ; à vous de trouver "la bonne opération" pour aboutir à )

[PaulDurand]

Merci pour votre réponse.

J'ai pris cet exemple de x = 0.5 parce que ce nombre (0.5) est > 0 et < 1 : il est dans l'encadrement. C'était juste pour illustrer.

Il suffit de soustraire chaque membre par -1 dans l'inégalité pour obtenir , soit :



J'ai du mal à voir en quoi le -1 que l'on vient de trouver va nous aider à conclure (ou pas) que

[hdci]

La première question était de démontrer que (et ça on l'a déjà fait, inutile de revenir dessus) :




La seconde question est ensuite d'en déduire


Or vous avez trouvé

Donc le signe de est négatif.

Tout est écrit maintenant, inutile de chercher dans les messages précédents : tout ce que je viens de rappeler permet de conclure.

[PaulDurand]

Encore une fois merci beaucoup pour vos réponses.

C'est terrible parce que j'ai beau relire les précédents messages, je ne comprends toujours pas pourquoi lorsqu'on demande : peut-on conclure que il faut chercher le signe de pour avoir la réponse

Je me fiche d'avoir juste à cet exercice et de gagner des points sur cet exo, ce qui m'importe le plus c'est de comprendre la logique et de pouvoir refaire un exercice similaire. Avoir juste à un exo sans en avoir compris la méthodologie ça ne sert pas à grand chose.

[hdci]

[quote="PaulDurand"
C'est terrible parce que j'ai beau relire les précédents messages, je ne comprends toujours pas pourquoi lorsqu'on demande : peut-on conclure que il faut chercher le signe de pour avoir la réponse [/quote]

Puisque

équivaut à


et qu'on sait que


On en déduit que

équivaut à


D'où l'étude du signe ce cette fraction, bien plus simple que l'étude du signe d'une somme de termes hétérogènes.

De façon générale, pour étudier le signe d'une expression, on utilise cette technique : 1) on factorise, 2) on étudie le signe de la factorisation en appliquant la règle des signes (moins par moins égale plus, moins par plus égale moins etc.). C'est exactement ce qui a été fait ici.

[PaulDurand]

Expliqué comme cela c'est effectivement plus clair et beaucoup plus compréhensible.

Alors étant donné que est négatif et que on peut en déduire que est négatif aussi.

Mais négatif ne veut pas dire = 0, donc mais pas .

On peut donc conclure que mais pas , est-ce correct ?

[hdci]

Pas tout à fait, car

Mais négatif ne veut pas dire = 0,

dans l'absolu, si, 0 est un nombre négatif (le seul qui soit à la fois positif et négatif).
Pour être très précis, si on parle de "<0", on doit dire "strictement négatif". Dans ce que j'ai écris précédemment, j'ai effectivement oublié (désolé...) qu'on est dans le cas , ce qui implique que x est différent de zéro, donc que .

Par conséquent, il faut remplacer tout ce que j'ai écris par des inégalités strictes :



Puisque

équivaut à


et qu'on sait que


On en déduit que

équivaut à

[PaulDurand]

Donc on peut conclure qu'effectivement , c'est bien cela ?

[hdci]

Donc on peut conclure qu'effectivement , c'est bien cela ?

Bon, ce que j'ai écrit n'est pas faux, mais je me suis emmêlé les pinceaux, je n'ai pas pris le temps de vérifier l'énoncé qui est donné en tout premier post :

X désigne un nombre réel tel que

Donc contrairement à ce que je disais dans mon dernier message, x est bien "négatif ou nul" et pas "strictement négatif".

Donc ce que j'écrivais dans mon avant-dernier message est bien la réponse finale.

Donc on peut conclure qu'effectivement , c'est bien cela ?

Oui car comme je l'ai indiqué, cette inégalité est équivalente à .
Quand on dit "est équivalent à", cela signifie que les deux parties ont la même vérité (soit vraies toutes les deux, soit fausses toutes les deux) ; donc chercher si ou quand la première inégalité est vraie revient exactement au même que de chercher si ou quand la seconde est vraie.
Et comme on est dans le cas , on a vu que la seconde inégalité était vraie.
On peut donc conclure sur la véracité de la première inégalité

[PaulDurand]

Merci pour vos réponses et votre aide. je pense maintenant avoir compris.