Devoir de math sur les probabilités

[Amdularyon]

http://nosdevoirs.fr/devoir/681520
Voila tout est la cela fait mtn 5 fois que je le refais et je n'y arrive pas :/

[Pseuda]

Il faut supposer que le problème est le suivant : "après 5 déplacements quelconques, quelle est la probabilité que le pion blanc atteigne la case rouge".

Pour chaque déplacement, il y a combien de cases possibles où peut aller le pion ? Au bout de 5 déplacements, cela fait combien de trajets à examiner ?

Beaucoup... Heureusement, il y a beaucoup de trajets qui s'éliminent immédiatement, mais qu'il faut quand même comptabiliser dans les cas possibles.

Il faut compter : nombre de cas favorables / nombre de cas possibles.

[Amdularyon]

Voila ce que j'ai écrit:
"il aura toute ces chances car si on part en diagonale sur la droite, on a juste à déplacé le pion de 2 cases puis de 3 cases en partant à gauche juste après s'être déplacé des 2 cases.
Et si on part sur la gauche, on se déplace de 3 cases puis de deux cases en partant par la droite après s'être déplacés sur les 3 cases"

[Pseuda]

Oups, je pense qu'il faut que tu utilises un graphe probabiliste et une matrice de transition. As-tu vu ces notions ?

[Amdularyon]

absolument pas :/

[Pseuda]

Bon alors, il faut compter tous les cas possibles et tous les cas favorables (c'est-à-dire ceux qui amènent le pion blanc sur la case rouge), et tu auras probabilité = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles.

Exemple de cas favorables : HD-HD-HG-HG-HG (H=haut, D=Droite, G=Gauche).

Il y a beaucoup de cas à éliminer immédiatement, tous ceux qui partent vers le bas dès le 1er ou le 2ème déplacement, et même tous ceux qui ont un déplacement vers le bas.

[Ben314]

Bon, on va essayer de regarder ça ensemble, mais avant, j'aimerais quand même pousser un gros coup de gueule :

C'est qui le(s) abrutis qui font les exercices de proba. qu'on donne aux étudiants de Lycée : en moins de 3 jours, ça fait le 5em de totalement débile :
Celui là, demande de calculer la proba d'arriver à un endroit donné sans qu'il y ait le moindre mot dans l'énoncé expliquant quelle est le "processus aléatoire sous-jacent" (pour utiliser du jargon technique), c'est à dire quel "hasard" régit le déplacement d'un pion sur la case suivante.
Dans certains exos, on peut dire que, vu le contexte, il y a un espèce de "sous entendu" concernant la règle, sauf qu'ici, le "sous entendu" qui vient à l'esprit (en tout cas au mien), c'est qu'à chaque coup, on tire au hasard, avec équiprobabilité et indépendamment des coups précédents si on va aller à droite ou à gauche.
SAUF QUE :
- Je trouve que ça fait quand même beaucoup de "sous entendus"
- Vu la position du pion, au bout de 4 coups, il peut être au bord à droite et il faut en plus "sous entendre" que dans ce cas là il ira forcément à gauche.
- Autant dans certains exercices, les "sous entendus" me paraissent assez naturels par rapport au vrai problème "concret" de l'exercice, autant là, j'ai jamais vu un joueur de dame se pointer avec un pièce pour tirer pile ou face les déplacements qu'il allait faire.

[Ben314]

Bon alors, il faut compter tous les cas possibles et tous les cas favorables (c'est-à-dire ceux qui amènent le pion blanc sur la case rouge), et tu auras probabilité = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles.

Même pas vraiment : si tu appelle un "cas" une liste de mouvement, ça marche pas vu que la liste de mouvements DDDDG est deux fois plus probable que DGDGDG (vu qu'après un DDDD, on a pas le droit d'aller à droite)
Donc si on veut calculer de cette manière là (et à mon avis c'est bien ce qu'il faut faire), il faut faire comme si on avait le droit de sortir du damier...

[Pseuda]

Même pas vraiment : si tu appelle un "cas" une liste de mouvement, ça marche pas vu que la liste de mouvements DDDDG est deux fois plus probable que DGDGDG (vu qu'après un DDDD, on a pas le droit d'aller à droite)
Donc si on veut calculer de cette manière là (et à mon avis c'est bien ce qu'il faut faire), il faut faire comme si on avait le droit de sortir du damier...

Ah non, on n'a pas le droit de sortir du damier :triste: Il faut considérer que quand on est près d'un bord, il n'y a plus que de 2 cases où aller, mais que si on arrive près d'un bord, on n'a plus aucune chance d'arriver à la case rouge.

[Ben314]

Bon, pour pas faire "que de raller", je te donne une réponse possible :
La suite de mouvement que va faire le pion correspond à une suite de 5 D(=droite) où G(=gauche) [en considérant qu'il a le droit de sortir du damier du damier si la suite de mouvement est DDDDD] <- ça, tu l'écrit en gros
On peut donc faire un arbre de toutes les possibilités avec :
- 2 possibilités pour le premier mouvement (D ou G)
- 2 possibilités pour le deuxième mouvement (D ou G) donc 2x2=4 depuis le début (DD, DG, GD, GG)
- 2 possibilités pour le troisième mouvement donc 2x4=8 depuis le début (DDD, DDG, DGD, DGG, GDD, GDG, GGD, GGG)
- 2 possibilités pour le quatrième mouvement donc 2x8=16 depuis le début
- 2 possibilités pour le cinquième et dernier mouvement donc 2x16=32 depuis le début
tu peut effectivement tracer l'arbre avec ces 32 "terminaisons", mais a mon avis, c'est pas obligé.

Vu que l'énoncé ne précise rien concernant la façon dont les différents choix sont effectués, on va faire l'hypothèse que les 32 cas de figure sont équiprobables<- ça tu l'écrit en TRES gros
de façon à pouvoir utiliser la formule disant que la probabilité de succès est égale à (Nb_Cas_Favorables)/(Nb_Cas_Total) (il est bien précisé dans le cours que cette formule ne s'applique que dans les situations où les différents cas sont équiprobables)<- ça tu l'écrit en moyen... :zen:

Reste à calculer le nombre de "cas favorable".
Pour que le pion arrive sur la case rouge, il faut (et il suffit) qu'il se soit déplacé deux fois à droite et 3 fois à gauche, peu importe l'ordre.
Si on regarde les numéro des deux mouvements où il est allé à droite, les possibilités sont :
12, 13, 14, 15, 23, 24, 25, 34, 35, 45 (par exemple 23 veut dire GDDGGG mais... c'est moins long à écrire et on risque moins de "rater" des cas)
Soit 10 "cas favorable" sur les 32 donc une probabilité de 10/32 soit environ 0.31, c'est à dire 31%.

[Ben314]

Ah non, on n'a pas le droit de sortir du damier :triste: Il faut considérer que quand on est près d'un bord, il n'y a plus que de 2 cases où aller, mais que si on arrive près d'un bord, on n'a plus aucune chance d'arriver à la case rouge.

Sur le principe, je suis parfaitement d'accord que c'est débile de dire qu'on a le droit de "sortir du damier", sauf que si on le dit pas, on n'a plus 32 cas de figure au total, mais 31 (vu que le cas DDDDD n'existe pas) et que les 31 "cas" ne sont plus équiprobable vu que DDDDG est deux fois plus probable que les autres : ça rend la rédaction bien chiante (en fait, ça oblige à faire un arbre avec tout les cas de figure à cause de cette malheureuse "exception" dont au fond on a rien à f... vu qu'il risque pas d'arriver à la case rouge en commençant par DDD)

[Pseuda]

C'est vrai qu'aux dames, on ne peut aller que vers le haut. Donc ça fait 2 parmi 5 (ou 3 parmi 5 ce qui revient au même). Le cas DDDD ne permet pas d'appliquer cette formule, mais bon.

[Pseuda]

Sachant qu'on doit faire : 2D-3G pour arriver à la case rouge, il suffit de considérer que le pion blanc doit arriver au bout de 4 déplacements à l'une des 2 cases situées en-dessous de la case rouge, soit un chemin 2D-2G ou 1D-3G, puis selon, un déplacement G ou D.

Cela fait une probabilité p (2 et 3) parmi 4 * , ce qui donne encore une probabilité d'arriver à la case rouge de , la même qu'en considérant qu'on a le droit de sortir du damier (car arrivé à la case 4D, il ne peut aller qu'à G avec une probabilité de 1, la même que d'aller à G ou à D avec une probabilité 1/2). :lol3:

[Amdularyon]

Merci pour toute vos réponse ^^