Bonjour à tous,
je profite de ce dimanche après-midi pour faire mon devoir maison de maths or certaines questions me posent problème alors je viens vous demander un petit coup de pouce
Exercice :
On désigne par f la fonction définie sur l'intervalle [1;+∞[ par :
f(x) = 1/(x+1) +ln( x/ (x+1))
On considère la suite u défini pour tout entier strictement positif n par :
Un = 1+ 1/2 +1/3 + .... 1/n -ln n
1) Démontrer que pour tout entier strictement positif n, U(n+1) -Un =f(n)
2)a) Soit k un entier strictement positif. Justifier l'égalité
k+1
∫ ((1/k)-(1/x)) dx ≥ 0
k
En déduire que
k+1
∫ 1/x dx ≤ 1/k
k
Démontrer l'inégalité ln(k+1) - ln k ≤ 1/k
Mes réponses
1) J'ai tenté d'utiliser l'inverse de la formule de somme de suite n(n+1)/2 :
ce qui me donne Un+1 - Un = 2 / (n+1)(n+2) - ln(n+1) - 2/n(n+1) +ln(n)
puis en essayant de simplifier j'aboutis à (2n-2(n+2)) / ((n+1)(n+2)n) + ln (n/n+1)
or ensuite je ne sais pas comment m'y prendre pour retomber sur f(n)
2)a) Pour cette question j'ai calculé l'intégrale avec les valeurs demandées ce qui me donne 1/k + ln(k/k+1) mais je ne sais pas comment prouver que cela est strictement supérieur à 0.
En ce qui concerne les autres questions je ne vois pas comment m'y prendre.
Merci d'avance pour votre aide !