Devoir maison sur les suites d'intégrale terminale

Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
Soliine
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Devoir maison sur les suites d'intégrale terminale

par Soliine » 02 Avr 2017, 18:40

Bonjour à tous,
je profite de ce dimanche après-midi pour faire mon devoir maison de maths or certaines questions me posent problème alors je viens vous demander un petit coup de pouce ;)

Exercice :

On désigne par f la fonction définie sur l'intervalle [1;+∞[ par :
f(x) = 1/(x+1) +ln( x/ (x+1))
On considère la suite u défini pour tout entier strictement positif n par :
Un = 1+ 1/2 +1/3 + .... 1/n -ln n
1) Démontrer que pour tout entier strictement positif n, U(n+1) -Un =f(n)

2)a) Soit k un entier strictement positif. Justifier l'égalité
k+1
∫ ((1/k)-(1/x)) dx ≥ 0
k

En déduire que
k+1
∫ 1/x dx ≤ 1/k
k
Démontrer l'inégalité ln(k+1) - ln k ≤ 1/k

Mes réponses

1) J'ai tenté d'utiliser l'inverse de la formule de somme de suite n(n+1)/2 :
ce qui me donne Un+1 - Un = 2 / (n+1)(n+2) - ln(n+1) - 2/n(n+1) +ln(n)
puis en essayant de simplifier j'aboutis à (2n-2(n+2)) / ((n+1)(n+2)n) + ln (n/n+1)
or ensuite je ne sais pas comment m'y prendre pour retomber sur f(n)

2)a) Pour cette question j'ai calculé l'intégrale avec les valeurs demandées ce qui me donne 1/k + ln(k/k+1) mais je ne sais pas comment prouver que cela est strictement supérieur à 0.
En ce qui concerne les autres questions je ne vois pas comment m'y prendre.

Merci d'avance pour votre aide !



Tiruxa47
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Re: Devoir maison sur les suites d'intégrale terminale

par Tiruxa47 » 02 Avr 2017, 19:41

Bonjour,

Pour le 1, la somme des inverses n'est pas l'inverse de la somme donc ta formule est fausse...
Il suffit d'écrire les somme en présence puis de soustraire membre à membre, de nombreux termes s'éliminent

Un+1 = 1 + 1/2 + 1/3 +...+ 1/n + 1/(n+1) - ln(n+1)
Un = 1 + 1/2 + 1/3 +...+ 1/n - ln n

Il suffit enfin de transformer la somme de log que tu obtiens

Tiruxa47
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Re: Devoir maison sur les suites d'intégrale terminale

par Tiruxa47 » 02 Avr 2017, 19:43

Pour le 2a il suffit d'étudier le signe de la fonction 1/k - 1/x pour x élément de l'intervalle [1/(k+1);1/k]

Soliine
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Re: Devoir maison sur les suites d'intégrale terminale

par Soliine » 24 Avr 2017, 20:00

Désolée pour le retard, j'ai eu un problème d'ordinateur ces dernières semaines. Merci beaucoup pour ton aide, je suis enfin arrivée au bout de mon devoir de maths.

 

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