Devoir maison sur les nombres complexes.

par **mambo13** » 28 Déc 2010, 11:57

C'est bon, le dm est résolu !

par **Sylviel** » 28 Déc 2010, 12:07

Les résultats m'ont l'air juste.

Ecris z sous forme trigonométrique, puis déduis en la forme trigo de z³.
Cela devrait de permettre de conclure, puis de construire tes ensembles.

par **mambo13** » 28 Déc 2010, 12:11

z = r (cos (theta) + i sin (theta))

Donc z ^ 3 = r^3 (cos (3*theta) + i sin (3*theta))

Mais je ne vois pas en quoi cela m'aide pour les questions suivantes ...

par **mambo13** » 28 Déc 2010, 12:14

Pour la question 2, peut on dire que pour que z^3 soit réel positif il faut que sin (3*theta) = 0 et que cos (3*theta) soit positif ?

Mais dans ce cas là, ça ne répond pas à la question puisqu'il est demandé UNE condition sur theta.

Est-ce que le fait que theta soit égal à 0 répond à la question ?

par **Sylviel** » 28 Déc 2010, 12:19

Ben justement tu as dis que un nombre complexe, (ici z³) est réel si et seulement si son argument vaut... Or l'argument de z^3 vaut...

(attention réel n'est pas équivalent à argument = 0, mais à argument = ... ...)

par **mambo13** » 28 Déc 2010, 16:01

Eh bien arg((z1)^3 ) = -2pi et arg((z2)^3) = 2pi
donc arg(z^3)=2pi [2pi]

Et on a montré dans le 2)a) de la partie A que :
z est un réel positif si et seulement si arg(z) = 0 [2pi] donc arg(z) = 2pi [2pi]

Est-ce exact ?

Donc, si j'ai bien compris, la réponse à la question 2) de la partie B est :
la condition nécessaire et suffisante sur theta pour que z^3 soit un nombre réel positif est que theta soit égal à 0 modulo 2pi.

Donc les points vérifiant cette égalité sont les points formant l'axe (Ox) sur [0 ; +infini[ ce qui forme une des trois demi droites demandées dans la question 3).

J'ai pensé que les deux autres demi-droites étaient [OA) et [OB) car on sait que O, A et B appartiennent à l'ensemble E. Comme le theta est le même que celui de A pour tous les points de la demi droite [OA) et le même que celui de B pour tous les points de la demi droite [OB).

Mais ce que je viens de dire n'est pas vraiment une démonstration, et je ne sais pas si c'est juste.

Pourriez-vous m'aider svp ?

par **Sylviel** » 28 Déc 2010, 16:06

Je ne comprends pas vraiment comment tu peux bloquer alors que tu as presque tout dis. Les points tel que z^3 soit réel positif sont les points tel que l'argument de z^3 vale 2k\pi. Donc les points d'argument 2k/3\pi. Donc les 3 demi droites voulues (l'origine y compris car on l'a vérifié à part).

par **mambo13** » 28 Déc 2010, 16:10

Les trois demi droites sont donc [Ox), [OA) et [OB) ?

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