Devoir maison sur les dérivées

[lasute]

Bonjour, j'aurais souhaité obtenir un peu d'aide pour un exercice sur lequel je bloque.

Exercice:

Dans un repère orthonormal (O,I,J) soit A le point de coordonnées (1;2) et M un point de l'axe des abscisses d'abscisse strictement supérieur à 1.
On appelle P le point d'intersection de (AM) avec l'axe des ordonnées.
1. Démontrer que l'ordonnée du point P est 2x/x-1.
2. Exprimer l'aire du triangle OMP en fonction de x.
3. Étudier les variations de la fonction f définie sur ]1;+infini[ par f(x)=x²/x-1.
4.a) Déterminer la position du point M qui permet d'obtenir l'aire OMP minimale.
b) Quelle est la valeur de cette aire?

Je ne vois pas par comment répondre à ces question, enfin je ne vois pas par où commencer.

merci de me répondre.

[Huppasacee]

Bonsoir
Pour la 1), tu n'as pas idée d'un théorème de géométrie qui te permettrait de faire le calcul ?

[lasute]

Il ne faudrait pas chercher l'équation de la tangente y=f'(a)(x-a)+f(a) pour pouvoir trouver l'ordonnée ???

[oscar]

Bonsoir
1- Coordonnées de [ 0, 2x/(x-1)] ( intersection de MA et O
2- Aire triangleOMP = OM*PO/2 = x²/(x-1) = f(x) ( x# 1)
3-Calcu! de f'' ses racines ; ses signes et les variations sur l' intervalle demandé
Relever aussi la valeur minimale et l' aire qui en résulte

[lasute]

Mais comment est ce que l'on trouve pour coordonnées [ 0, 2x/(x-1)] ??
Ou plutôt comment on démontre que l'ordonnée du point P est 2x/(x-1) ??

[lasute]

Quelqu'un peut il m'aider ??

[Huppasacee]

bonsoir
Simple question de géométrie !

Soit le point B de coordonnées (1; 0), donc projeté orthogonal de A sur l'axe des abscisses
ROM et ABM sont 2 triangles rectangles semblables, donc nous avons proportionnalité des côtés
AB/OP = BM/OM
et on remplace !

cela pouvait aussi être trouvé par le théorème de Thalès

[lasute]

Et il n'y a pas un autre moyen de résoudre cela sans parler du point B ??
C'est juste pour savoir.

[Huppasacee]

Bonsoir

Je ne pense pas qu'il y ait une méthode autre , sinon utiliser la géométrie .

pourquoi une autre ? cette méthode te semble trop lourde ?

[Huppasacee]

Une autre rédaction , peut être :

les points P, A et M sont alignés , donc les vecteurs AM et PM sont colinéaires
et on fait le produit en croix des coordonnées de ces 2 vecteurs

ou encore

la droite reliant P à M et celle reliant A à M ont le même coefficient directeur

[lasute]

bonsoir
Simple question de géométrie !

Soit le point B de coordonnées (1; 0), donc projeté orthogonal de A sur l'axe des abscisses
ROM et ABM sont 2 triangles rectangles semblables, donc nous avons proportionnalité des côtés
AB/OP = BM/OM
et on remplace !

cela pouvait aussi être trouvé par le théorème de Thalès

Par contre c'est lequel le point R ??

Mais sinon si on utilise le théorème de thales comment est ce que l'on fait car les points M, B et O ne sont pas alignés sur ma figure.
De plus, comme M est un point d'abscisse strictement supérieur à 1 alors est ce que M peut avoir n'importe quel ordonnée à partir de(au dessus) l'abscisse 1??

[lasute]

Une autre rédaction , peut être :

les points P, A et M sont alignés , donc les vecteurs AM et PM sont colinéaires
et on fait le produit en croix des coordonnées de ces 2 vecteurs

ou encore

la droite reliant P à M et celle reliant A à M ont le même coefficient directeur

Pour cette façon de faire comment est ce que l'on trouve les coordonnées de P et de M ??

[Huppasacee]

MP a pour coordonnées .........que nous appellerons ( ux ; uy )

MA a pour coordonnées ........ qui seront ( vx ; vy )

Si MP et MA sont colinéaires , alors

ux* vy - uy * vx = 0

la même expression sera valable avec les coefficients directeurs de droites .

Le coefficient directeur de la droite MP est (Yp - Ym)/Xp - Xm)

pareil pour l'autre coefficient directeur

et s'ils sont égaux , alors ... ( produit en croix )

[lasute]

Mais comment est ce que l'on peut prouver cela étant donné que l'on ne connaît pas les coordonnées de M et de P ???

[Huppasacee]

Les coordonnées de M sont ( x ; 0 ) d'après l'énoncé .

Et l'ordonnée de P est l'inconnue en fonction de x

Je m'aperçois que tu ne cherches à faire aucun effort

aussi je jette l'éponge .

Ce n'est pas mon habitude, mais là , je quitte avant la dépression !

[lasute]

mais non c'est pas ça c'est juste que je ne comprend pas comment faire

[lasute]

Ça y est j'ai réussi par contre pour trouvé l'aire du triangle OMP je sais pas si ce que j'ai fait est bon:
aire du triangle OMP: OP*OM/2
OP=racine de (xP-x0)²+(yP-y0)²= racine de (2x/x-1)² soit 2x/x-1
OM=racine de (xM-x0)²+(yM-y0)²= racine de x² soit x
Donc (2x/x-1*x)/2= (2x²/x-1)/2 = 2x²/2(x-1)=x²/x-1
Est ce que c'est bon? enfin si tu veux toujours me répondre...??

[Huppasacee]

l'aire est bonne

[lasute]

Puis pour la question 3 est ce que c'est bon ??
f(x)=x²/x-1
f est définie et dérivable sur ]1;+infini[
f=u/v
avec u(x)=x² et v(x)=x-1
D'où u'(x)=2x et v'(x)=1

Dérivée:
f'=u'v-uv'/v²
f'(x)=((2x(x-1) - x²*1)/(x-1)²
f'(x)=(2x²-2x-x²)/(x-1)²
f'(x)=x²-2x/(x-1)²
f'(x)=x(x-2)/(x-1)²

(x-1)² est strictement positif sur ]1;+infini[, donc le signe de f'(x) dépend du signe de x(x-2).

Ensuite j'ai fait le tableau des signes mais je ne sais pas si je met ou pas une double barre à 0 étant donné que celui-ci n'appartient pas à l'ensemble de définition.
Donc grâce au tableau je déduit:
D'où f'(x)=0 si x=2
f'(x)>0 si x appartient à ]2;+infini[
f'(x)<0 si x appartient à ]0;2[
Donc la fonction f est croissante sur ]2;+infini[ et décroissante sur ]0;2[.

Puis j'ai fait le tableau de variations avec dedans le signe de f'(x) qui est + sur ]-infini;0[ (par contre je ne sais pas si je met cette colonne) ensuite double barre sous 0 après c'est - sur ]0;2[ puis + sur ]2;+infini[.
Dans ce tableau il y a aussi les variations de f(x).

4.a) f est décroissante sur ]0;2[ donc si 0f(x)>f(2) (ou 4)
f est croissante sur ]2;+infini[ donc si 2f(2) soit f(x)>4
Donc pour tout x appartenant à ]1;+infini[ la valeur minimale de f est 4.

Par contre si cela est bon je ne vois pas comment résoudre la question b.

[lasute]

l'aire est bonne

Cela veut dire que le raisonnement est mauvais ??