Devoir maison sur les comportements asymptotiques et l'étude

[cromarclear]

Bonjour.

J'ai à faire pendant les vacances un devoir maison sur les asymtotes et compagnies. Le seul probleme, le prof ne nous a pas fait cours dessus...
J'ai essayé de lire la leçon du cours mais elle n'est pas fameuse, et sur les leçons sur internet je ne comprends pas trop.


J'aimerais bien que vous m'aidiez si possible.
Je vous marque tout l'énoncé de l'exercice, qui s'avere être long.


La fonction est définie par
On note sa courbe représentative dans un repère orthonormé et son ensemble de définition.



1. Determiner .
J'ai trouvé - { -1 ; 1 } car le diviseur ne peut pas être , et que et .


2. Montrer que, pour tout x appartenant ) , on a :

Pour cette question, j'ai eu du mal, je ne sais pas si ma réponse est juste. Je fais :









3. Montrer que admet deux asymptotes parallèles à l'axe des ordonnées. Les préciser.
Je sais que les asymtotes parallèles sont et mais je ne suis pas sur pour les préciser. J'ai dit que c'était parce que et sont des valeurs interdites.


4. Determiner la limite de f en - et +.
J'ai écrit sans grande conviction :

= +

= +

Donc = 1

et

= -

= +

Donc = Cas indéterminé


5.a Justifier que est dérivable sur et montrer que l'on a alors : où est un polynôme à coéfficients entiers de degré .
Je n'ai pas trop compris la question. Je l'ai éssayé au brouillon mais je n'y suis pas arrivé au bout.


5.b Montrer que est racine de . En déduire alors une factorisation de .
Je ne l'ai pas réussi.


5.c En déduire le signe de sur .
Je ne l'ai pas réussi.


5.d Etablir le tadleau complet des variations de .
Je ne l'ai pas réussi.


J'espere que vous pouvez m'aider car je suis vraiment perdu, surtout pour la fin.

Merci de votre aide.

[johnjohnjohn]

Doit on lire :

a)

La fonction est définie par

b)

La fonction est définie par



Alors a) ou b) ?

1)
Si c'est b) ton raisonnement pour le Df est presque juste dans le cas contraire non !.

2) OK mais un coup tu écris a) un coup tu écris b)

3)

Je doute du choix de tes asymptotes

On te dit qu'elles sont // à l'axe des ordonnées. Tu sais ce que tu fais ?? tu traces la courbe à la mimine ou avec un grapheur. Tu choisis les droites qui peuvent être candidates et tu démontres qu'elles sont des asymptotes ( en te servant de ce qu'on t'a donné en cours )

4)

horrible !!

la deuxième forme indéterminée te gène ( en - inf ) mais pas la première.

je vois trois façons de déterminer les limites inf

a) Tu écris f de autrement

(x^3+1)/( x² -1 ) = x(1 +1 /x^3)/( 1 - 1/x²)

b) Tu te sers de la question 2 oû f est écrit de façon différente

c) Tu te rappelles qu'en l'inf la limite d'une fonction rationnelle est égale à la limite du rapport des termes de plus haut dégré


5.a)

Pour la dérivabilité , il faut te souvenir que les fonctions rationnelles sont dérivables sur chaque intervalle de leur ensemble de définition. Tu l'écris et c'est fini !!

Pour le calcul de la dérivée, c'est bête et méchant. Tu sais ce que c'est qu'un polynôme ?

tiens nous informés

[cromarclear]

Doit on lire :

a)

La fonction est définie par

b)

La fonction est définie par



Alors a) ou b) ?

C'est la b).
Je vais essayé de faire l'exercice avec ce que tu m'as dit, et je te dirais ce que j'ai mis sur le forum.

[cromarclear]

Voici tout l'exercice, je le réécris ici avec ce que j'ai pu faire.


La fonction est définie par
On note sa courbe représentative dans un repère orthonormé et son ensemble de définition.



1. Determiner .
- { -1 ; 1 } car le diviseur ne peut pas être , et que et .


2. Montrer que, pour tout x appartenant ) , on a :









3. Montrer que admet deux asymptotes parallèles à l'axe des ordonnées. Les préciser.
En cours, on ne m'a rien donné, je ne peux donc pas m'y référer.
J'ai mis, en essayant de recopier un exemple (que je n'ai pas trop compris) d'un cours sur internet (dont j'ai perdu le site d'ailleurs...) :
= -
= +
Soit la courbe d'équation .
Soit la droite d'équation . D est asysptote si et seulement si = ?

J'ai laissé un blanc puis ai rajouté :
On admet deux asymptotes parallèle à la courbe des ordonées qui sont et .

Je ne sais pas si je vais rester sur le fait que et sont des valeurs interdites.


4. Determiner la limite de f en - et +.


Pour











Donc


De même pour











Donc



5.a Justifier que est dérivable sur et montrer que l'on a alors : où est un polynôme à coéfficients entiers de degré .
est dérivable sur car les fonctions rationnels sont dérivable sur chaque invervale de leur ensemble de definition.
Alors - { -1 ; 1 }

avec ; ; ;








5.b Montrer que est racine de . En déduire alors une factorisation de .
Si pour , alors est une racine de .





Donc est une racine de


5.c et d En déduire le signe de sur . Etablir le tabeau complet des variations de
0 est aussi une racine car c'est une valeur interdite. Les deux racines sont donc 0 et 3.

[Billball]

4. Determiner la limite de f en - et +.


Pour



0



0



Donc


De même pour



0



0



Donc

j't'ai mis ce qui manquait en rouge =)

[Huppasacee]

Pour les limites aux abords de x = -1 et x = +1 , il faut distinguer les 2 cas pour chaque valeur

quand x tend vers-1 - ( à gauche , ou par valeurs inférieures , le deuxième moins étant en "exposant" )
et quand x tend vers -1 + ( à droite , ou par valeurs supérieures )

pareil pour +1

les 2 asymptotes sont bien x =-1 et x = +1
les 2 autres que tu as citées ne sont pas des valeurs interdites

pour ta dérivée

si P(0) = 0
et P(3) = 0

alors P(x) peut s'écrire :
(x -0) ( x-3) ( ax²+bx +c )
tu trouves les 3 coefficients a, b et c
et tu regardes si ce trinôme a des racines

0 est aussi une racine car c'est une valeur interdite. Les deux racines sont donc 0 et 3.

pourqoi parles tu de valeur interdite ?

[cromarclear]

J'ai éditer mon message pour mettre les modifications que tu m'as indiqué Billball.
J'avais aussi oublié de mettre -4 à la place de 4, ce qui donnait

à la place de et donc un calcul faux pour mon exercice.

[cromarclear]

pourqoi parles tu de valeur interdite ?

Pour faire le tableau de signe.

[Huppasacee]

Ce n'est pas une "valeur interdite", mais une valeur où la dérivée s'annule
une valeur interdite est une valeur qui n'est pas dans le domaine de définition , comme ici -1 et +1