Devoir maison Racines cubiques de l'unité

[tomb95]

Bonsoir, je suis en Terminale S et j'ai beaucoup de mal avec l'exercice suivant:

Le but de ce problème est d'étudier la résolution dans de l'équation z^n=1, de mettre en évidence quelques propriétés algébriques des solutions, et de préciser la nature géométrique des images de ces solutions dans le plan complexe. Le cas n=3 sert d'introduction.

Soit n un entier supérieur ou égal à 2.
On appelle racine nième de l'unité tout nombre complexe z solution de l'équation : z^n = 1.

Etude d'un cas particulier: racines cubiques de l'unité.
1- Rechercher des nombres complexes z tel que z^3 = 1
a) Démontrer que les solutions sont des complexes de module 1.
b) Démontrer que l'écriture exponentielle des solutions est e^ik(2pi/3), k étant un entier relatif.
c) Démontrer que les entiers k1 et k2 définissent la même solution si et seulement k1-k2 est un multiple de 3.
d) En déduire le nombre de solutions de l'équation: z^3 = 1
e) Donner les écritures algébriques des racines cubiques de l'unité.

Mes réponses:
a)z^3 = 1
=> |z^3| = |1|
<=> |z|^3 = 1
<=> |z| = 1

b)
z^3 = 1
(e^ai)^3 = 1
e^i3a = 1
e^i3a = e^i0
3a = 0 + k 2pi
d'où e^(ik2pi/3)

Mais je bloque vraiment pour le reste...
Votre aide serait la bienvenue.
Merci d'avance.

[Arnaud-29-31]

Bonjour,

Pour la question suivante, il faut retenir que l'exponentielle complexe est périodique (comme tu l'as évoque en question b) ...
Est-ce que tu as une petite idée ?

[tomb95]

Et bien, pas vraiment... Un rapport avec k2pi ?

[Arnaud-29-31]

Oui,
A quel condition sur et a t-on en exprimant la périodicité de l'exponentielle complexe ?

[tomb95]

Sincèrement, j'ai du mal à comprendre.
Ca m'étonne car je suis un assez bon élève de ma classe et c'est très différent ce DM.

k1 et k2 définissent la même solution donc : e^ ik1.2pi/3 = e^ ik2.2pi/3
et il faut montrer ceci que si k1 - k2 = 3 x quelque chose ?

[Arnaud-29-31]

Attention, le k du ce n'est pas le même que

[Arnaud-29-31]

Oui, c'est ça

[tomb95]

Je ne vois pas où il faut en venir ? :s
Excusez-moi avec toutes mes questions.

[Arnaud-29-31]

Et bien si ca donne quelle condition sur et ?

[tomb95]

Et bien, k1 doit être égal à k2.
Donc k1 - k2 = 0*3

[Arnaud-29-31]

Je comprend pas, tu l'as pourtant bien utilisé en question b ...

e^i3a = e^i0
3a = 0 + k 2pi

[tomb95]

Oui...
Mais je ne vois pas le rapport

[Arnaud-29-31]

Bein si alors et non pas a = b.
Tu semblais l'avoir bien compris lorsque tu as rédigé la question b ...

[Nightmare]

Salut,

tomb95 > ce que tu as fait pour la a) est vraiment faux... On te demande de trouver toutes les racines cubiques de l'unité. Quelle est ta réponse?