Devoir maison assez compliqué

[gryff]

Bonjour, je suis actuellement élève de lycée et mon professeur de mathématiques nous donne des devoirs maisons assez compliqués cet exercice n'est pas le plus dur mais c'est en tout cas sur celui ci que je bloque, c'est la première fois que je demande de l'aide en maths sur internet merci par avance de votre compréhension.

Voici le sujet

Soient a et b deux réels strictement positifs.
On considère les suites (a_n)_n;)N et (b_n)_n;)N définies par

a₀=a
b₀=b
;)n;)N, a_n+1=(a_n+b_n)/2
;)n;)N, b_n+1=;)(a_nb_n)

1) on suppose ici que a;)b

a) démontrer que
;)n;)N, 0n;)b_n+1;)a_n+1;)a_n

b) démontrer que ;)n;)N, a_n+1-b_n+1;)(1/2ⁿ)×(a_n-b_n)

et en déduire que:
;)n;)N, 0;)a_n-b_n;)(1/2ⁿ)×(a₀-b₀)

c) Que peut-on déduire des résultats précédents ?

2) On suppose ici que a1;)a₁
Que peut-on en déduire étant donnés les résultats établis au 1) ?

3) On note L(a;b) la limite commune des suites a et b indépendantes de l’ordre de a et de b.
On l’appelle la « moyenne arithmético-géométrique » de a et b.
Démontrer que quel que soit le choix de a et de b :

a) L(b;a)=L(a;b)

b);)c ;) ]0;+;)[, L(ca;cb)=c L(a;b)

c);)(ab);)L(a;b);)(1/2)×(a+b)

4) Déterminer une approximation de L(1;2) à 10^-6 près en précisant d'emblée à
partir de quelle valeur de n on peut être certain que a_n et b_n fournissent une telle
approximation.

Encore merci par avance, toute aide est la bienvenue

[Rebelle_]

Hello ! :)

Je voudrais bien t'aider mais j'avoue que j'ai un peu de mal à comprendre ton énoncé :/

[gryff]

il faut remplacer les sub par des indices et les sup par des exposants en gros ca donne ca
http://img829.imageshack.us/img829/9155/capture11u.png

[Rebelle_]

Ah, voilà qui est plus lisible =P

NB : les inégalités sont non strictes sauf si le contraire est précisé.

Voyons la première question. On va décomposer la relation à montrer. Montrer que a_{n+1} < a_n revient à montrer que la suite (a_n) est décroissante ; en revanche, il faut montrer que (b_n) est croissante. Il faudra aussi montrer que b_n < a_n et que ces suites sont strictement positives.
Voilà pour le plan.

Pour commencer, on remarque de manière évidente que la suite (b_n) ne peut pas être négative du fait de la racine carrée. On peut donc noter b_n > 0.
On cherche ensuite une relation d'ordre entre (a_n) et (b_n) qui nous permettra d'affirmer que (a_n) n'est jamais nulle non plus ; on va donc étudier le signe de a_{n+1} - b_{n+1}. Une fois qu'on l'aura, on étudiera les signes de a_{n+1} - a_n puis de b_{n+1} - b_n ce qui permettra de conclure sur la relation demandée.