Devoir maison aire

[Proriko]

Bonjour j'aurais besoin d'aide pour cet exercice

Un industriel doit fabriquer des boites à chaussure sans couvercle à partir de plaques rectangulaires de métal de dimension 16dm par 10dm

Pour cela,il découpe dans chaque angle de la plaque un carré de côté x (en dm);puis replie et soude les côtés.

Quelle est la valeur de x qui rend le volume de la boîte maximal?Quellles sont alors les dimensions de la boîte?

[Proriko]

J'ai du mal à trouver la réponse , car la valeur de x risque d'être très petite et très proche de 0

[Proriko]

En fait je ne sais pas vraiment la méthodé à utiliser dans ce cas

[Robic]

Bonjour ! Est-ce que tu as calculé le volume de la boîte en fonction de x ?
- Si oui, qu'est-ce que tu as trouvé ?
- Si non, est-ce que tu sais comment faire ? (Dessine le rectangle, dessine les quatre petits carrés de côté x qui seront découpés, dessine le patron de la boîte ainsi obtenu, déduis-en les dimensions de la boîte en fonction de x.)

Une subtilité : il faut bien préciser l'ensemble de variation de x (par exemple x est forcément positif, mais il y a une autre contrainte).

[Proriko]

La boite à pour côté 16-x et 10-x

Le volume est égal à l*L*x
soit (16-x)*(10-x)*x
=160x-160x²-10x²+x^3
=160x-150x²+x^3

[paquito]

Proriko est trop naïf, ou il a mal fait son dessin! Il faut enlever 2x de chaque côté! Tu as x dans[0; 5];
Débrouille toi pour trouver x=4!

[Proriko]

Mais c'est bien le bon calcul de volume?

[Proriko]

(16-2x)*(10-2x)*x
=160x-32x²-20x²+4x^3
=160x+12x²+4x^3
Mais je suis bloqué.

[Robic]

=160x-32x²-20x²+4x^3

OK

=160x+12x²+4x^3

Attention aux erreurs de calculs ! Ici c'est :
=160x-52x²+4x^3

Donc tu as donc calculé le volume. Or ce volume dépend de x. On peut en faire une fonction :
f(x) = 160x-52x²+4x^3.

Comment fait-on pour connaître le volume maximal possible ? Il faut... il faut... étudier la fonction. Dérivée, tableau de variation, tout ça...

Paquito : c'est pas plutôt x = 2 ?

[paquito]

Tu es dans quelle classe?

[Proriko]

Exact petite erreur de calcul de ma part...
Je suis en première pourquoi?
Donc je fais la dérivé
f est dérivable car c'est un polynome
f'(x)=160-104x+12x²

[Robic]

Continue !

[paquito]

Exact petite erreur de calcul de ma part...
Je suis en première pourquoi?
Donc je fais la dérivé
f est dérivable car c'est un polynome
f'(x)=160-104x+12x²

Et delta pour le signe de la dérivée?

[paquito]

OK

Attention aux erreurs de calculs ! Ici c'est :
=160x-52x²+4x^3

Donc tu as donc calculé le volume. Or ce volume dépend de x. On peut en faire une fonction :
f(x) = 160x-52x²+4x^3.

Comment fait-on pour connaître le volume maximal possible ? Il faut... il faut... étudier la fonction. Dérivée, tableau de variation, tout ça...

Paquito : c'est pas plutôt x = 2 ?

oui, c'est x=2! Je suis encore plus étourdi que Proriko!

[Proriko]

C'est clair paquito ! (non je plaisante)
on a f'(x)=12x²-104x+160
donc delta=3136 donc x1=2 ou x2=20/3

[Robic]

Continue ! Et n'oublie pas ce que j'ai dit plus haut :

il faut bien préciser l'ensemble de variation de x

[Proriko]

Donc j'ai fais un tableau de signe et j'obtiens que f'(x) et croissante entre -l'infini et 2 , puis décroissante entre x1 et x2 puis de nouveau croissante entre 20/3 et + l'infini

[Robic]

J'ai trouvé la même chose. Sauf que, encore une fois, il faut se limiter aux valeurs possibles de x (par exemple x ne peut pas être négatif !). Donc essaie de refaire le tableau de variation pour les valeurs possibles de x. Alors tu verras aussitôt la valeur maximale.

j'obtiens que f'(x) et croissante

C'est f qui est croissante, pas f(x) ni f'(x).

[Proriko]

Le tableau reste identique sauf que le premier intervalle est 0;2 et non -l'infini;2
Lorsqu'on remplace f(x) par 2 on obtient une valeur de 144

[Robic]

Ton tableau de variation va de x=0 à x=combien ? C'est important de mettre les bonnes valeurs.

144 est effectivement la valeur maximale à trouver, mais pour le justifier il faut avoir le bon intervalle d'étude. Si tu étudies la fonction entre 0 et l'infini, par exemple, le maximum serait + l'infini (ce qui serait absurde).